Линейная алгебра Примеры

$x - 3 y + z = 1$ , $- 2 x + y + 3 z = - 7$ , $x - 4 y + 2 z = 0$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ - 2 & 1 & 3 & - 7 \\ 1 & - 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 1 + 2 \cdot - 3 & 3 + 2 \cdot 1 & - 7 + 2 \cdot 1 \\ 1 & - 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ 0 & - 5 & 5 & - 5 \\ 1 & - 4 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ 0 & - 5 & 5 & - 5 \\ 1 - 1 & - 4 + 3 & 2 - 1 & 0 - 1 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ 0 & - 5 & 5 & - 5 \\ 0 & - 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 5 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 \\ 0 & - 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 1 - 1 & - 1 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot - 1 & 1 + 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 2 & 4 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - 2 z = 4$

$y - z = 1$

Этап 4

Добавим $2 z$ к обеим частям уравнения.

$x = 4 + 2 z$

$y - z = 1$

Этап 5

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$y = 1 + z$

$x = 4 + 2 z$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(4 + 2 z, 1 + z, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 + 2 z \\ 1 + z \\ z \end{array}]$