Линейная алгебра Примеры

$x = 3 t$ , $y = 2 - t$ , $t = 4$

Этап 1

Вычтем $3 t$ из обеих частей уравнения.

$x - 3 t = 0, y = 2 - t, t = 4$

Этап 2

Добавим $t$ к обеим частям уравнения.

$x - 3 t = 0, y + t = 2, t = 4$

Этап 3

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 + \frac{1}{3} & 1 - 0 & 2 - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ 1 - 1 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 4 - 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 & 2 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 3 & 4 - \frac{1}{3} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 4.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & - 1 & 2 \end{array}]$

Этап 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 4.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 6 - 3 \cdot - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.7.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 12 \\ 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 5

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$t = 4$

$x = 12$

$y = - 2$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(4, 12, - 2)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 12 \\ - 2 \end{array}]$