Линейная алгебра Примеры

$5 x - 4 y = 11$ , $3 x = y + 15$

Этап 1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$5 x - 4 y = 11, 3 x - y = 15$

Этап 2

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 & 11 \\ 3 & - 1 & 15 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{- 4}{5} & \frac{11}{5} \\ 3 & - 1 & 15 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{11}{5} \\ 3 & - 1 & 15 \end{array}]$

Этап 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{11}{5} \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 (- \frac{4}{5}) & 15 - 3 (\frac{11}{5}) \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{11}{5} \\ 0 & \frac{7}{5} & \frac{42}{5} \end{array}]$

Этап 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{5}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{5}{7}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{11}{5} \\ \frac{5}{7} \cdot 0 & \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} & \frac{5}{7} \cdot \frac{42}{5} \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{5} & \frac{11}{5} \\ 0 & 1 & 6 \end{array}]$

Этап 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{5} \cdot 0 & - \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot 1 & \frac{11}{5} + \frac{4}{5} \cdot 6 \\ 0 & 1 & 6 \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \end{array}]$

Этап 4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 7$

$y = 6$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(7, 6)$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 6 \end{array}]$