Линейная алгебра Примеры

$x + y + z + w = 15$ , $x - 2 y + 4 z - w = 12$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ - 1 & 1 & - 2 & 4 & 12 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 1 & - 2 + 1 \cdot 1 & 4 + 1 \cdot 1 & 12 + 1 \cdot 15 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & 2 & - 1 & 5 & 27 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 1 + \frac{1}{2} & 1 - \frac{5}{2} & 15 - \frac{27}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & \frac{27}{2} \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$w + \frac{3 y}{2} - \frac{3 z}{2} = \frac{3}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

Этап 4

Перенесем все члены без $w$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{3 y}{2}$ из обеих частей уравнения.

$w - \frac{3 z}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

Этап 4.2

Добавим $\frac{3 z}{2}$ к обеим частям уравнения.

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

$x - \frac{y}{2} + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2}$

Этап 5

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{y}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x + \frac{5 z}{2} = \frac{27}{2} + \frac{y}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{5 z}{2}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

$x = \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2}$

$w = \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2}, \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2}, y, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{2} - \frac{3 y}{2} + \frac{3 z}{2} \\ \frac{27}{2} + \frac{y}{2} - \frac{5 z}{2} \\ y \\ z \end{array}]$