Линейная алгебра Примеры

$- x + y + z = - 2$ , $- x + 3 y - 7 z = - 16$ , $7 x - 5 y - 15 z = 0$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 1 & - 2 \\ - 1 & 3 & - 7 & - 16 \\ 7 & - 5 & - 15 & 0 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 1 & - - 2 \\ - 1 & 3 & - 7 & - 16 \\ 7 & - 5 & - 15 & 0 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ - 1 & 3 & - 7 & - 16 \\ 7 & - 5 & - 15 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 3 - 1 & - 7 - 1 & - 16 + 1 \cdot 2 \\ 7 & - 5 & - 15 & 0 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 8 & - 14 \\ 7 & - 5 & - 15 & 0 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 7 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 8 & - 14 \\ 7 - 7 \cdot 1 & - 5 - 7 \cdot - 1 & - 15 - 7 \cdot - 1 & 0 - 7 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 2 & - 8 & - 14 \\ 0 & 2 & - 8 & - 14 \end{array}]$

Этап 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{- 8}{2} & \frac{- 14}{2} \\ 0 & 2 & - 8 & - 14 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 & - 7 \\ 0 & 2 & - 8 & - 14 \end{array}]$

Этап 2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 & - 7 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 8 - 2 \cdot - 4 & - 14 - 2 \cdot - 7 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 - 4 & 2 - 7 \\ 0 & 1 & - 4 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 5 & - 5 \\ 0 & 1 & - 4 & - 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - 5 z = - 5$

$y - 4 z = - 7$

Этап 4

Добавим $5 z$ к обеим частям уравнения.

$x = - 5 + 5 z$

$y - 4 z = - 7$

Этап 5

Добавим $4 z$ к обеим частям уравнения.

$y = - 7 + 4 z$

$x = - 5 + 5 z$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(- 5 + 5 z, - 7 + 4 z, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 + 5 z \\ - 7 + 4 z \\ z \end{array}]$