Линейная алгебра Примеры

$x + y = 6$ , $\frac{x}{y} = 2$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ \frac{1}{y} & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{y} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{y} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ \frac{1}{y} - \frac{1}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{y} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{y} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ 0 & - \frac{1}{y} & 2 - \frac{6}{y} \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- y$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- y$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ - y \cdot 0 & - y (- \frac{1}{y}) & - y (2 - \frac{6}{y}) \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 6 - (- 2 y + 6) \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 y \\ 0 & 1 & - 2 y + 6 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = 2 y$

$y = - 2 y + 6$

Этап 4

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$y + 2 y = 6$

$x = 2 y$

Этап 4.1.2

Добавим $y$ и $2 y$ .

$3 y = 6$

$x = 2 y$

$3 y = 6$

$x = 2 y$

Этап 4.2

Разделим каждый член $3 y = 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $3 y = 6$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

$y = \frac{6}{3}$

$x = 2 y$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

$y = 2$

$x = 2 y$

Этап 5

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(2 y, 2)$

Этап 6

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ 2 \end{array}]$