Линейная алгебра Примеры

$y = - 3 x - 3 z + 11$ , $x = - 2 y - z + 7$ , $z = x - y$

Этап 1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$y + 3 x = - 3 z + 11, x = - 2 y - z + 7, z = x - y$

Этап 1.2

Добавим $3 z$ к обеим частям уравнения.

$y + 3 x + 3 z = 11, x = - 2 y - z + 7, z = x - y$

Этап 2

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y = - z + 7, z = x - y$

Этап 2.2

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z = x - y$

Этап 3

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z - x = - y$

Этап 3.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$y + 3 x + 3 z = 11, x + 2 y + z = 7, z - x + y = 0$

Этап 4

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 3 & 11 \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{1}{3} & \frac{3}{3} & \frac{11}{3} \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 1 & 2 & 1 & 7 \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 1 - 1 & 2 - \frac{1}{3} & 1 - 1 & 7 - \frac{11}{3} \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ - 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + \frac{1}{3} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + \frac{11}{3} \end{array}]$

Этап 5.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & \frac{5}{3} & 0 & \frac{10}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

Этап 5.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{3}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} & \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

Этап 5.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & \frac{4}{3} & 2 & \frac{11}{3} \end{array}]$

Этап 5.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 & 2 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{11}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2 \end{array}]$

Этап 5.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 5.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \frac{0}{2} & \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 5.6.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 1 & \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{3} - 0 & 1 - 1 & \frac{11}{3} - \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 5.7.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{19}{6} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{19}{6} - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 5.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Этап 6

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = \frac{5}{2}$

$y = 2$

$z = \frac{1}{2}$

Этап 7

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{5}{2}, 2, \frac{1}{2})$

Этап 8

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{2} \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{array}]$