Линейная алгебра Примеры

$y = 3 x + 6$ , $y = - \frac{1}{3} x + 5$

Этап 1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$y - 3 x = 6, y = - \frac{1}{3} x + 5$

Этап 2

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$y - 3 x = 6, y = - \frac{x}{3} + 5$

Этап 3

Добавим $\frac{x}{3}$ к обеим частям уравнения.

$y - 3 x = 6, y + \frac{x}{3} = 5$

Этап 4

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 6 \\ \frac{1}{3} & 1 & 5 \end{array}]$

Этап 5

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} & 1 & 5 \end{array}]$

Этап 5.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - 2 \\ \frac{1}{3} & 1 & 5 \end{array}]$

Этап 5.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{3} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - 2 \\ \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{3}) & 5 - \frac{1}{3} \cdot - 2 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - 2 \\ 0 & \frac{10}{9} & \frac{17}{3} \end{array}]$

Этап 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{9}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{9}{10}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - 2 \\ \frac{9}{10} \cdot 0 & \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{9} & \frac{9}{10} \cdot \frac{17}{3} \end{array}]$

Этап 5.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} & - 2 \\ 0 & 1 & \frac{51}{10} \end{array}]$

Этап 5.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & - 2 + \frac{1}{3} \cdot \frac{51}{10} \\ 0 & 1 & \frac{51}{10} \end{array}]$

Этап 5.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{10} \\ 0 & 1 & \frac{51}{10} \end{array}]$

Этап 6

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = - \frac{3}{10}$

$y = \frac{51}{10}$

Этап 7

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(- \frac{3}{10}, \frac{51}{10})$

Этап 8

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3}{10} \\ \frac{51}{10} \end{array}]$