Линейная алгебра Примеры

$x + y - z = 2$ , $2 x - 3 y + 4 z = - 3$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 2 & - 3 & 4 & - 3 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 \cdot 1 & 4 - 2 \cdot - 1 & - 3 - 2 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & - 5 & 6 & - 7 \end{array}]$

Этап 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 2 \\ - \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} \cdot - 5 & - \frac{1}{5} \cdot 6 & - \frac{1}{5} \cdot - 7 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{7}{5} \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & - 1 + \frac{6}{5} & 2 - \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{7}{5} \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{6}{5} & \frac{7}{5} \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + \frac{z}{5} = \frac{3}{5}$

$y - \frac{6 z}{5} = \frac{7}{5}$

Этап 4

Вычтем $\frac{z}{5}$ из обеих частей уравнения.

$x = \frac{3}{5} - \frac{z}{5}$

$y - \frac{6 z}{5} = \frac{7}{5}$

Этап 5

Добавим $\frac{6 z}{5}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{7}{5} + \frac{6 z}{5}$

$x = \frac{3}{5} - \frac{z}{5}$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{3}{5} - \frac{z}{5}, \frac{7}{5} + \frac{6 z}{5}, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} - \frac{z}{5} \\ \frac{7}{5} + \frac{6 z}{5} \\ z \end{array}]$