Линейная алгебра Примеры

Записать в виде векторного равенства x+y-z=1 , 2x+3y+az=3 , x+ay+3z=2
, ,
Этап 1
Запишем систему уравнений в матричном виде.
Этап 2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Заменим на , чтобы поместить ненулевой элемент в .
Этап 2.2
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 2.2.2
Упростим .
Этап 2.3
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 2.3.2
Упростим .
Этап 2.4
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 2.4.2
Упростим .
Этап 2.5
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.5.1
Умножим каждый элемент на , чтобы сделать значение в равным .
Этап 2.5.2
Упростим .
Этап 2.6
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.6.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 2.6.2
Упростим .
Этап 2.7
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.7.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 2.7.2
Упростим .
Этап 2.8
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.8.1
Выполним операцию над строками , чтобы сделать элемент в равным .
Этап 2.8.2
Упростим .
Этап 3
Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.
Этап 4
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 4.1.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.1.3
Объединим и .
Этап 4.1.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.1.5
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.6
Изменим порядок членов.
Этап 4.1.7
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 4.3
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 4.3.1.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 4.3.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.3
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 4.3.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 4.3.3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.3.1
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.3.3.3.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.3.3.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.3.3.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.3.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.3.3.4
Перепишем в виде .
Этап 4.3.3.3.5
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.3.3.6
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.3.3.6.1
Перепишем в виде .
Этап 4.3.3.3.6.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.1.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 5.1.3
Объединим и .
Этап 5.1.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.1.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.5.3
Умножим на .
Этап 5.1.5.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.1.5.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.5.5.1
Перенесем .
Этап 5.1.5.5.2
Умножим на .
Этап 5.1.6
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 5.3
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1
Перенесем все члены без в правую часть уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.1.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.3.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.3.1.3
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.3.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.3
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.3.3.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.2.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 5.3.3.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.3.1
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 5.3.3.3.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.3.3.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 5.3.3.3.4
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.3.3.3.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.3.3.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.3.3.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.3.3.4.4
Вынесем множитель из .
Этап 5.3.3.3.4.5
Вынесем множитель из .
Этап 6
Решим уравнение относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Найдем НОК знаменателей членов уравнения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1.1
Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.
Этап 6.1.2
НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.
перечисляет простые множители каждого числа.
Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.
Этап 6.1.3
Число не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.
Не является простым
Этап 6.1.4
НОК представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 6.1.5
Множителем является само значение .
встречается раз.
Этап 6.1.6
НОК представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.
Этап 6.2
Каждый член в умножим на , чтобы убрать дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Умножим каждый член на .
Этап 6.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.2.2.1.2
Умножим на .
Этап 6.2.2.1.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1.3.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 6.2.2.1.3.2
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.2.1.3.3
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.2.1.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.2.2.1.5
Умножим на .
Этап 6.2.2.1.6
Умножим на .
Этап 6.2.2.1.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.2.2.1.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.2.1.8.1
Перенесем .
Этап 6.2.2.1.8.2
Умножим на .
Этап 6.2.2.2
Добавим и .
Этап 6.2.3
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.3.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.3.1.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 6.2.3.1.2
Сократим общий множитель.
Этап 6.2.3.1.3
Перепишем это выражение.
Этап 6.2.3.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.2.3.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.3.3.1
Умножим на .
Этап 6.2.3.3.2
Умножим на .
Этап 6.3
Решим уравнение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.1
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 6.3.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 6.3.3
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Этап 6.3.4
Подставим значения , и в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно .
Этап 6.3.5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.5.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.5.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.5.1.2
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.3
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.4
Перепишем в виде .
Этап 6.3.5.1.5
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.5.1.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.5.1.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.5.1.5.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.5.1.6
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.5.1.6.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.5.1.6.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 6.3.5.1.6.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.5.1.6.1.2.1
Перенесем .
Этап 6.3.5.1.6.1.2.2
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.6.1.3
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.6.1.4
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.6.1.5
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.6.1.6
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.6.2
Вычтем из .
Этап 6.3.5.1.7
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.5.1.9
Умножим на .
Этап 6.3.5.1.10
Добавим и .
Этап 6.3.5.1.11
Вычтем из .
Этап 6.3.5.1.12
Разложим на множители, используя правило полных квадратов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.5.1.12.1
Перепишем в виде .
Этап 6.3.5.1.12.2
Перепишем в виде .
Этап 6.3.5.1.12.3
Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.
Этап 6.3.5.1.12.4
Перепишем многочлен.
Этап 6.3.5.1.12.5
Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена , где и .
Этап 6.3.5.1.13
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6.3.5.2
Умножим на .
Этап 6.3.6
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.6.1.2
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.3
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.4
Перепишем в виде .
Этап 6.3.6.1.5
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.1.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.6.1.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.6.1.5.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.6.1.6
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.1.6.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.1.6.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 6.3.6.1.6.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.1.6.1.2.1
Перенесем .
Этап 6.3.6.1.6.1.2.2
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.6.1.3
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.6.1.4
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.6.1.5
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.6.1.6
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.6.2
Вычтем из .
Этап 6.3.6.1.7
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.6.1.9
Умножим на .
Этап 6.3.6.1.10
Добавим и .
Этап 6.3.6.1.11
Вычтем из .
Этап 6.3.6.1.12
Разложим на множители, используя правило полных квадратов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.1.12.1
Перепишем в виде .
Этап 6.3.6.1.12.2
Перепишем в виде .
Этап 6.3.6.1.12.3
Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.
Этап 6.3.6.1.12.4
Перепишем многочлен.
Этап 6.3.6.1.12.5
Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена , где и .
Этап 6.3.6.1.13
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6.3.6.2
Умножим на .
Этап 6.3.6.3
Заменим на .
Этап 6.3.6.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.4.1
Добавим и .
Этап 6.3.6.4.2
Вычтем из .
Этап 6.3.6.4.3
Добавим и .
Этап 6.3.6.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.6.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.3.6.5.2
Разделим на .
Этап 6.3.7
Упростим выражение, которое нужно решить для части значения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.7.1.2
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.3
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.4
Перепишем в виде .
Этап 6.3.7.1.5
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.1.5.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.7.1.5.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.7.1.5.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.7.1.6
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.1.6.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.1.6.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 6.3.7.1.6.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.1.6.1.2.1
Перенесем .
Этап 6.3.7.1.6.1.2.2
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.6.1.3
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.6.1.4
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.6.1.5
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.6.1.6
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.6.2
Вычтем из .
Этап 6.3.7.1.7
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.8
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.7.1.9
Умножим на .
Этап 6.3.7.1.10
Добавим и .
Этап 6.3.7.1.11
Вычтем из .
Этап 6.3.7.1.12
Разложим на множители, используя правило полных квадратов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.1.12.1
Перепишем в виде .
Этап 6.3.7.1.12.2
Перепишем в виде .
Этап 6.3.7.1.12.3
Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.
Этап 6.3.7.1.12.4
Перепишем многочлен.
Этап 6.3.7.1.12.5
Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена , где и .
Этап 6.3.7.1.13
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 6.3.7.2
Умножим на .
Этап 6.3.7.3
Заменим на .
Этап 6.3.7.4
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.4.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 6.3.7.4.2
Умножим на .
Этап 6.3.7.4.3
Умножим на .
Этап 6.3.7.4.4
Вычтем из .
Этап 6.3.7.4.5
Добавим и .
Этап 6.3.7.4.6
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.4.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.3.7.4.6.2
Вынесем множитель из .
Этап 6.3.7.4.6.3
Вынесем множитель из .
Этап 6.3.7.5
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.7.5.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.3.7.5.2
Разделим на .
Этап 6.3.8
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
Этап 7
Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.
Этап 8
Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.