Линейная алгебра Примеры

Найти собственные значения [[1,4],[1,-2]]
Этап 1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения .
Этап 2
Единичная матрица размера представляет собой квадратную матрицу с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
Этап 3
Подставим известное значение в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Подставим вместо .
Этап 3.2
Подставим вместо .
Этап 4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.1
Умножим на .
Этап 4.1.2.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.2.1
Умножим на .
Этап 4.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 4.1.2.3
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 4.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 4.1.2.4
Умножим на .
Этап 4.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 4.3
Simplify each element.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Добавим и .
Этап 4.3.2
Добавим и .
Этап 5
Find the determinant.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 5.2
Упростим определитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 5.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 5.2.1.2.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.2.1.5.1
Перенесем .
Этап 5.2.1.2.1.5.2
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.1.6
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.1.7
Умножим на .
Этап 5.2.1.2.2
Добавим и .
Этап 5.2.1.3
Умножим на .
Этап 5.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.3
Изменим порядок и .
Этап 6
Примем характеристический многочлен равным , чтобы найти собственные значения .
Этап 7
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Разложим на множители, используя метод группировки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 7.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 7.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 7.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Приравняем к .
Этап 7.3.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 7.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.4.1
Приравняем к .
Этап 7.4.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 7.5
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.