Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Этап 1

Умножим $[\begin{array}{c} - 3 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & - 4 \\ 0 & 1 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 1$ .

Этап 1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - 3 x + 1 y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ 0 x + 1 y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Этап 1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} - 3 x + y + 2 z \\ 4 x + 2 y - 4 z \\ y + 3 z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ 3 \end{array}]$

Этап 2

Матричное уравнение может быть записано в виде набора уравнений.

$- 3 x + y + 2 z = 5$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Этап 3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$y + 2 z = 5 + 3 x$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Этап 3.2

Вычтем $2 z$ из обеих частей уравнения.

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$4 x + 2 y - 4 z = - 4$

$y + 3 z = 3$

Этап 4

Заменим все вхождения $y$ на $5 + 3 x - 2 z$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим все вхождения $y$ в $4 x + 2 y - 4 z = - 4$ на $5 + 3 x - 2 z$ .

$4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $4 x + 2 (5 + 3 x - 2 z) - 4 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 2 \cdot 5 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Этап 4.2.1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$4 x + 10 + 2 (3 x) + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Этап 4.2.1.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$4 x + 10 + 6 x + 2 (- 2 z) - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Этап 4.2.1.1.2.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$4 x + 10 + 6 x - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Этап 4.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Добавим $4 x$ и $6 x$ .

$10 x + 10 - 4 z - 4 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Этап 4.2.1.2.2

Вычтем $4 z$ из $- 4 z$ .

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$y + 3 z = 3$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $y$ в $y + 3 z = 3$ на $5 + 3 x - 2 z$ .

$(5 + 3 x - 2 z) + 3 z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 4.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $- 2 z$ и $3 z$ .

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$5 + 3 x + z = 3$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 5

Перенесем все члены без $z$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x + z = 3 - 5$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 5.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$z = 3 - 5 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 5.3

Вычтем $5$ из $3$ .

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$z = - 2 - 3 x$

$10 x + 10 - 8 z = - 4$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 6

Заменим все вхождения $z$ на $- 2 - 3 x$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим все вхождения $z$ в $10 x + 10 - 8 z = - 4$ на $- 2 - 3 x$ .

$10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $10 x + 10 - 8 (- 2 - 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 x + 10 - 8 \cdot - 2 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 6.2.1.1.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$10 x + 10 + 16 - 8 (- 3 x) = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 6.2.1.1.3

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$10 x + 10 + 16 + 24 x = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 6.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Добавим $10 x$ и $24 x$ .

$34 x + 10 + 16 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 6.2.1.2.2

Добавим $10$ и $16$ .

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x - 2 z$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $z$ в $y = 5 + 3 x - 2 z$ на $- 2 - 3 x$ .

$y = 5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 6.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $5 + 3 x - 2 (- 2 - 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 5 + 3 x - 2 \cdot - 2 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 6.4.1.1.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 - 2 (- 3 x)$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 6.4.1.1.3

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 5 + 3 x + 4 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 6.4.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Добавим $5$ и $4$ .

$y = 3 x + 9 + 6 x$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 6.4.1.2.2

Добавим $3 x$ и $6 x$ .

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

$y = 9 x + 9$

$34 x + 26 = - 4$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $34 x + 26 = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вычтем $26$ из обеих частей уравнения.

$34 x = - 4 - 26$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.1.2

Вычтем $26$ из $- 4$ .

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$34 x = - 30$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2

Разделим каждый член $34 x = - 30$ на $34$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $34 x = - 30$ на $34$ .

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{34 x}{34} = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 30}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель $- 30$ и $34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 30$ .

$x = \frac{2 (- 15)}{34}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $34$ .

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 15}{2 \cdot 17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = \frac{- 15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 7.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

$x = - \frac{15}{17}$

$y = 9 x + 9$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8

Заменим все вхождения $x$ на $- \frac{15}{17}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим все вхождения $x$ в $y = 9 x + 9$ на $- \frac{15}{17}$ .

$y = 9 (- \frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим $9 (- \frac{15}{17}) + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Умножим $9 (- \frac{15}{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$y = - 9 (\frac{15}{17}) + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.1.1.2

Объединим $- 9$ и $\frac{15}{17}$ .

$y = \frac{- 9 \cdot 15}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.1.1.3

Умножим $- 9$ на $15$ .

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{- 135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = - \frac{135}{17} + 9$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.2

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + 9 \cdot \frac{17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.3

Объединим $9$ и $\frac{17}{17}$ .

$y = - \frac{135}{17} + \frac{9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 135 + 9 \cdot 17}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.5.1

Умножим $9$ на $17$ .

$y = \frac{- 135 + 153}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.2.1.5.2

Добавим $- 135$ и $153$ .

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 - 3 x$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $x$ в $z = - 2 - 3 x$ на $- \frac{15}{17}$ .

$z = - 2 - 3 (- \frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим $- 2 - 3 (- \frac{15}{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Умножим $- 3 (- \frac{15}{17})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$z = - 2 + 3 (\frac{15}{17})$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4.1.1.2

Объединим $3$ и $\frac{15}{17}$ .

$z = - 2 + \frac{3 \cdot 15}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4.1.1.3

Умножим $3$ на $15$ .

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = - 2 + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4.1.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{17}{17}$ .

$z = - 2 \cdot \frac{17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4.1.3

Объединим $- 2$ и $\frac{17}{17}$ .

$z = \frac{- 2 \cdot 17}{17} + \frac{45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$z = \frac{- 2 \cdot 17 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.5.1

Умножим $- 2$ на $17$ .

$z = \frac{- 34 + 45}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 8.4.1.5.2

Добавим $- 34$ и $45$ .

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

$z = \frac{11}{17}$

$y = \frac{18}{17}$

$x = - \frac{15}{17}$

Этап 9

Перечислим все решения.

$z = \frac{11}{17}, y = \frac{18}{17}, x = - \frac{15}{17}$