Линейная алгебра Примеры

$3 x - 5 y = 5$ , $2 x - 3 y = 1$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 3 & - 5 & 5 \\ 2 & - 3 & 1 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 5}{3} & \frac{5}{3} \\ 2 & - 3 & 1 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \\ 2 & - 3 & 1 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (- \frac{5}{3}) & 1 - 2 (\frac{5}{3}) \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & - \frac{7}{3} \end{array}]$

Этап 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $3$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \\ 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 (- \frac{7}{3}) \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 1 & - 7 \end{array}]$

Этап 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{3} \cdot 0 & - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot 1 & \frac{5}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 7 \\ 0 & 1 & - 7 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 10 \\ 0 & 1 & - 7 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = - 10$

$y = - 7$

Этап 4

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(- 10, - 7)$

Этап 5

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 10 \\ - 7 \end{array}]$