Линейная алгебра Примеры

$4 x + 2 = 5 y - 3$ , $y = 3 x - 1$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$4 x = 5 y - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Этап 2

Вычтем $5 y$ из обеих частей уравнения.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y = 3 x - 1$

Этап 3

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$4 x - 5 y = - 3 - 2, y - 3 x = - 1$

Этап 4

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 3 - 2 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 5

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 4 & - 5 & - 5 \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 5.2

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{4}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{4}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4}{4} & \frac{- 5}{4} & \frac{- 5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 5.3

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 (- \frac{5}{4}) & - 1 + 3 (- \frac{5}{4}) \end{array}]$

Этап 5.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & - \frac{11}{4} & - \frac{19}{4} \end{array}]$

Этап 5.4

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $- \frac{4}{11}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $- \frac{4}{11}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{4}{11} \cdot 0 & - \frac{4}{11} (- \frac{11}{4}) & - \frac{4}{11} (- \frac{19}{4}) \end{array}]$

Этап 5.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{4} & - \frac{5}{4} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Этап 5.5

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{5}{4} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{5}{4} \cdot 0 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot 1 & - \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{19}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Этап 5.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{10}{11} \\ 0 & 1 & \frac{19}{11} \end{array}]$

Этап 6

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x = \frac{10}{11}$

$y = \frac{19}{11}$

Этап 7

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{10}{11}, \frac{19}{11})$

Этап 8

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{10}{11} \\ \frac{19}{11} \end{array}]$