Линейная алгебра Примеры

$6 x + 3 y - 3 z = 12$ , $4 x + 2 y - 2 z = 8$ , $3 x + 2 y - z = 8$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 6 & 3 & - 3 & 12 \\ 4 & 2 & - 2 & 8 \\ 3 & 2 & - 1 & 8 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{3}{6} & \frac{- 3}{6} & \frac{12}{6} \\ 4 & 2 & - 2 & 8 \\ 3 & 2 & - 1 & 8 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 4 & 2 & - 2 & 8 \\ 3 & 2 & - 1 & 8 \end{array}]$

Этап 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 (\frac{1}{2}) & - 2 - 4 (- \frac{1}{2}) & 8 - 4 \cdot 2 \\ 3 & 2 & - 1 & 8 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & - 1 & 8 \end{array}]$

Этап 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 (\frac{1}{2}) & - 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 8 - 3 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \end{array}]$

Этап 2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $2$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{1}{2}) & 2 \cdot 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 2 - \frac{1}{2} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - z = 0$

$y + z = 4$

Этап 4

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$x = z$

$y + z = 4$

Этап 5

Вычтем $z$ из обеих частей уравнения.

$y = 4 - z$

$x = z$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(z, 4 - z, z)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ 4 - z \\ z \end{array}]$