Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 - 2 i \\ 4 + 4 i \\ 4 - 1 i \end{array}]$

Этап 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 2 - 2 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $4$ и $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{8}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.5

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.7

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.9.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.9.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 2 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $2$ .

$\sqrt{8 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.11

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.12

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.13

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.14

Добавим $16$ и $16$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.15

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.15.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{8 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.17

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{8 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.18

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{8 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.19

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.19.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.19.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.19.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.19.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{1} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.19.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.20

Умножим $16$ на $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Этап 2.21

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - i |}^{2}}$

Этап 2.22

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Этап 2.23

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Этап 2.24

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + 1}}^{2}}$

Этап 2.25

Добавим $16$ и $1$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{17}}^{2}}$

Этап 2.26

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.26.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 + 32 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.26.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.26.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.26.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.26.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.26.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{1}}$

Этап 2.26.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{8 + 32 + 17}$

Этап 2.27

Добавим $8$ и $32$ .

$\sqrt{40 + 17}$

Этап 2.28

Добавим $40$ и $17$ .

$\sqrt{57}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{57}$

Десятичная форма:

$7.54983443 \dots$