Линейная алгебра Примеры

$2 d + 3 g - h = a$ , $d - g + 3 h = b$ , $3 d + 7 g - 5 h = c$

Этап 1

Вычтем $a$ из обеих частей уравнения.

$2 d + 3 g - h - a = 0, d - g + 3 h = b, 3 d + 7 g - 5 h = c$

Этап 2

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$2 d + 3 g - h - a = 0, d - g + 3 h - b = 0, 3 d + 7 g - 5 h = c$

Этап 3

Вычтем $c$ из обеих частей уравнения.

$2 d + 3 g - h - a = 0, d - g + 3 h - b = 0, 3 d + 7 g - 5 h - c = 0$

Этап 4

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 1 \cdot 2 & - 1 \cdot 3 & - - 1 & - 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & - 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 & - 3 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 1 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 3 & 7 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- 1$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & - 3 & 0 \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 7 & - - 5 & - 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 2 & - 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & - 7 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 6

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a - 2 d - 3 g + h = 0$

$b - d + g - 3 h = 0$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

Этап 7

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $2 d$ к обеим частям уравнения.

$a - 3 g + h = 2 d$

$b - d + g - 3 h = 0$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

Этап 7.2

Добавим $3 g$ к обеим частям уравнения.

$a + h = 2 d + 3 g$

$b - d + g - 3 h = 0$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

Этап 7.3

Вычтем $h$ из обеих частей уравнения.

$a = 2 d + 3 g - h$

$b - d + g - 3 h = 0$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

$a = 2 d + 3 g - h$

$b - d + g - 3 h = 0$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

Этап 8

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $d$ к обеим частям уравнения.

$b + g - 3 h = d$

$a = 2 d + 3 g - h$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

Этап 8.2

Вычтем $g$ из обеих частей уравнения.

$b - 3 h = d - g$

$a = 2 d + 3 g - h$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

Этап 8.3

Добавим $3 h$ к обеим частям уравнения.

$b = d - g + 3 h$

$a = 2 d + 3 g - h$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

$b = d - g + 3 h$

$a = 2 d + 3 g - h$

$c - 3 d - 7 g + 5 h = 0$

Этап 9

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $3 d$ к обеим частям уравнения.

$c - 7 g + 5 h = 3 d$

$a = 2 d + 3 g - h$

$b = d - g + 3 h$

Этап 9.2

Добавим $7 g$ к обеим частям уравнения.

$c + 5 h = 3 d + 7 g$

$a = 2 d + 3 g - h$

$b = d - g + 3 h$

Этап 9.3

Вычтем $5 h$ из обеих частей уравнения.

$c = 3 d + 7 g - 5 h$

$a = 2 d + 3 g - h$

$b = d - g + 3 h$

$c = 3 d + 7 g - 5 h$

$a = 2 d + 3 g - h$

$b = d - g + 3 h$

Этап 10

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(2 d + 3 g - h, d - g + 3 h, 3 d + 7 g - 5 h, d, g, h)$

Этап 11

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ g \\ h \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 d + 3 g - h \\ d - g + 3 h \\ 3 d + 7 g - 5 h \\ d \\ g \\ h \end{array}]$