Линейная алгебра Примеры

$4 a x - 3 y = 7$ , $- x - b y = 8$

Этап 1

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - 1 y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Этап 2.2

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{4 x}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{4 x}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{4 x}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{- 3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

Этап 2.3

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $- \frac{1}{y}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $- \frac{1}{y}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} (- y) & - \frac{1}{y} \cdot - 1 & - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} \cdot 8 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & 1 & \frac{1}{y} & 0 & - \frac{8}{y} \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$a - \frac{3 y}{4 x} = \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Этап 4

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $\frac{7}{4 x}$ из обеих частей уравнения.

$a - \frac{3 y}{4 x} - \frac{7}{4 x} = 0$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $\frac{3 y}{4 x}$ к обеим частям уравнения.

$a - \frac{7}{4 x} = \frac{3 y}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Этап 4.2.2

Добавим $\frac{7}{4 x}$ к обеим частям уравнения.

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $\frac{8}{y}$ к обеим частям уравнения.

$b + \frac{x}{y} + \frac{8}{y} = 0$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $b$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $\frac{x}{y}$ из обеих частей уравнения.

$b + \frac{8}{y} = - \frac{x}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Этап 5.2.2

Вычтем $\frac{8}{y}$ из обеих частей уравнения.

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}, - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}, x, y)$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x} \\ - \frac{x}{y} - \frac{8}{y} \\ x \\ y \end{array}]$