Линейная алгебра Примеры

$- 3 x - 4 y = 2$ , $8 y = - 6 x - 4$

Этап 1

Добавим $6 x$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x - 4 y = 2, 8 y + 6 x = - 4$

Этап 2

Запишем систему уравнений в матричном виде.

$[\begin{array}{c} - 3 & - 4 & 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Этап 3

Приведем к ступенчатому виду, чтобы исключить одну из переменных.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

Этап 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 8 - 6 (\frac{4}{3}) & - 4 - 6 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x + \frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3}$

Этап 5

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $\frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{4} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{3}{4} (- x)$

Этап 5.3.2.1.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y = \frac{- 1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Этап 5.3.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

Этап 5.4

Изменим порядок $- \frac{1}{2}$ и $- \frac{3 x}{4}$ .

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 6

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(x, - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2})$

Этап 7

Разложим вектор решения, переупорядочив каждое уравнение, представленное в виде приведенной расширенной матрицы, путем решения уравнения относительно зависимой переменной в каждой строке, что приведет к равенству векторов.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2} \end{array}]$