Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 4 & 10 \\ 5 & 6 \end{array}]$

Этап 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Этап 2

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 4 \cdot 6 - 5 \cdot 10$

Этап 2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$- 24 - 5 \cdot 10$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 5$ на $10$ .

$- 24 - 50$

Этап 2.2.2

Вычтем $50$ из $- 24$ .

$- 74$

Этап 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 74} [\begin{array}{c} 6 & - 10 \\ - 5 & - 4 \end{array}]$

Этап 5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{74} [\begin{array}{c} 6 & - 10 \\ - 5 & - 4 \end{array}]$

Этап 6

Умножим $- \frac{1}{74}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{74} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{74}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{74} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $2$ из $74$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (37)} \cdot 6 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot 3) & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.1.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{37} \cdot 3 & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{- 1}{37}$ и $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot 3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & - \frac{1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{74}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{74} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.5.2

Вынесем множитель $2$ из $74$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 (37)} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.5.3

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.5.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.5.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- 1}{37} \cdot - 5 \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.6

Объединим $\frac{- 1}{37}$ и $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{- - 5}{37} \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.7

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ - \frac{1}{74} \cdot - 5 & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.8

Умножим $- \frac{1}{74} \cdot - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ 5 (\frac{1}{74}) & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.8.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{74}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & - \frac{1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{74}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{74} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.9.2

Вынесем множитель $2$ из $74$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 (37)} \cdot - 4 \end{array}]$

Этап 7.9.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 2) \end{array}]$

Этап 7.9.4

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{2 \cdot 37} \cdot (2 \cdot - 2) \end{array}]$

Этап 7.9.5

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- 1}{37} \cdot - 2 \end{array}]$

Этап 7.10

Объединим $\frac{- 1}{37}$ и $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{- - 2}{37} \end{array}]$

Этап 7.11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{37} & \frac{5}{37} \\ \frac{5}{74} & \frac{2}{37} \end{array}]$