Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 6 & - 9 & - 8 \\ 2 & 9 & 6 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 1

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 9 & 6 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 6 | \begin{array}{c} 9 & 6 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 1.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Этап 1.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Этап 1.1.9

Add the terms together.

$- 6 | \begin{array}{c} 9 & 6 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 9 & 6 \end{array} |$

Этап 1.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 9 & 6 \end{array} |$ .

$- 6 | \begin{array}{c} 9 & 6 \\ 1 & - 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0$

Этап 1.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 9 & 6 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 6 (9 \cdot - 1 - 1 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0$

Этап 1.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 6 (- 9 - 1 \cdot 6) - 2 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0$

Этап 1.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 (- 9 - 6) - 2 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $6$ из $- 9$ .

$- 6 \cdot - 15 - 2 | \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} | + 0$

Этап 1.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 9 & - 8 \\ 1 & - 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 6 \cdot - 15 - 2 (- 9 \cdot - 1 - 1 \cdot - 8) + 0$

Этап 1.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$- 6 \cdot - 15 - 2 (9 - 1 \cdot - 8) + 0$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$- 6 \cdot - 15 - 2 (9 + 8) + 0$

Этап 1.4.2.2

Добавим $9$ и $8$ .

$- 6 \cdot - 15 - 2 \cdot 17 + 0$

Этап 1.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $- 6$ на $- 15$ .

$90 - 2 \cdot 17 + 0$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 2$ на $17$ .

$90 - 34 + 0$

Этап 1.5.2

Вычтем $34$ из $90$ .

$56 + 0$

Этап 1.5.3

Добавим $56$ и $0$ .

$56$

Этап 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Этап 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} - 6 & - 9 & - 8 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 9 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{6}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} \cdot - 6 & - \frac{1}{6} \cdot - 9 & - \frac{1}{6} \cdot - 8 & - \frac{1}{6} \cdot 1 & - \frac{1}{6} \cdot 0 & - \frac{1}{6} \cdot 0 \\ 2 & 9 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 2 & 9 & 6 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 9 - 2 (\frac{3}{2}) & 6 - 2 (\frac{4}{3}) & 0 - 2 (- \frac{1}{6}) & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 6 & \frac{10}{3} & \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{\frac{10}{3}}{6} & \frac{\frac{1}{3}}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{9} & \frac{1}{18} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 4.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{9} & \frac{1}{18} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{5}{9} & 0 - \frac{1}{18} & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

Этап 4.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{9} & \frac{1}{18} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{14}{9} & - \frac{1}{18} & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

Этап 4.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{9}{14}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $- \frac{9}{14}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{9} & \frac{1}{18} & \frac{1}{6} & 0 \\ - \frac{9}{14} \cdot 0 & - \frac{9}{14} \cdot 0 & - \frac{9}{14} (- \frac{14}{9}) & - \frac{9}{14} (- \frac{1}{18}) & - \frac{9}{14} (- \frac{1}{6}) & - \frac{9}{14} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{9} & \frac{1}{18} & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$

Этап 4.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{5}{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{5}{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{5}{9} \cdot 0 & 1 - \frac{5}{9} \cdot 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} \cdot 1 & \frac{1}{18} - \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{28} & \frac{1}{6} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{28} & 0 - \frac{5}{9} (- \frac{9}{14}) \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$

Этап 4.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & \frac{4}{3} & - \frac{1}{6} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & \frac{5}{14} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$

Этап 4.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{4}{3} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{4}{3} \cdot 0 & \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{28} & 0 - \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{28} & 0 - \frac{4}{3} (- \frac{9}{14}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & \frac{5}{14} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$

Этап 4.7.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & 0 & - \frac{3}{14} & - \frac{1}{7} & \frac{6}{7} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & \frac{5}{14} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$

Этап 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{14} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{28} & - \frac{1}{7} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{28} & \frac{6}{7} - \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{14} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & \frac{5}{14} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$

Этап 4.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{15}{56} & - \frac{17}{56} & \frac{9}{28} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & \frac{5}{14} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$

Этап 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} - \frac{15}{56} & - \frac{17}{56} & \frac{9}{28} \\ \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & \frac{5}{14} \\ \frac{1}{28} & \frac{3}{28} & - \frac{9}{14} \end{array}]$