Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} 1 & 1 0 & 1 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера

$2$ представляет собой квадратную матрицу

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 1.3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим

$1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Развернем

$(1 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.1.2

Умножим

$- λ$ на

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.1.3

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.1.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.2.1.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.1.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.1.7

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.2.2

Вычтем

$λ$ из

$- λ$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

Этап 1.5.2.1.3

Умножим

$0$ на

$1$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0$

Этап 1.5.2.2

Добавим

$1 - 2 λ + λ^{2}$ и

$0$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2}$

Этап 1.5.2.3

Перенесем

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 1$

Этап 1.5.2.4

Изменим порядок

$- 2 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$λ^{2} - 2 λ + 1^{2} = 0$

Этап 1.7.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Этап 1.7.1.3

Перепишем многочлен.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 1.7.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где

$a = λ$ и

$b = 1$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Этап 1.7.2

Приравняем

$λ - 1$ к

$0$ .

$λ - 1 = 0$

Этап 1.7.3

Добавим

$1$ к обеим частям уравнения.

$λ = 1$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем

$1$ из

$1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Вычтем

$0$ из

$1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.3

Вычтем

$0$ из

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.4

Вычтем

$1$ из

$1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when

$λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}]$

Этап 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Этап 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 4

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$