Линейная алгебра Примеры

$\log_{5} ({(4 x - 5)}^{2}) = 6$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{5} ({(4 x - 5)}^{2})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

${(4 x - 5)}^{2} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{2}} > \sqrt{0}$

Этап 2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 4 x - 5 | > \sqrt{0}$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$| 4 x - 5 | > \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| 4 x - 5 | > | 0 |$

Этап 2.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$| 4 x - 5 | > 0$

Этап 2.3

Запишем $| 4 x - 5 | > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$4 x - 5 \geq 0$

Этап 2.3.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$4 x \geq 5$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{5}{4}$

Этап 2.3.3

В части, где $4 x - 5$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$4 x - 5 > 0$

Этап 2.3.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$4 x - 5 < 0$

Этап 2.3.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$4 x < 5$

Этап 2.3.5.2

Разделим каждый член $4 x < 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Разделим каждый член $4 x < 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Этап 2.3.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Этап 2.3.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Этап 2.3.6

В части, где $4 x - 5$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (4 x - 5) > 0$

Этап 2.3.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - (4 x - 5) > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Этап 2.3.8

Упростим $- (4 x - 5) > 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - (4 x) - - 5 > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Этап 2.3.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 4 x - - 5 > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

${\begin{cases} 4 x - 5 > 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 4 x + 5 > 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Этап 2.4

Решим $4 x - 5 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$4 x > 5$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $4 x > 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $4 x > 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{5}{4}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} > \frac{5}{4}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{5}{4}$

Этап 2.5

Решим $- 4 x + 5 > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вычтем $5$ из обеих частей неравенства.

$- 4 x > - 5$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 4 x > - 5$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 4 x > - 5$ на $- 4$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{- 5}{- 4}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} < \frac{- 5}{- 4}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 5}{- 4}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{5}{4}$

Этап 2.6

Найдем объединение решений.

$x < \frac{5}{4}$ или $x > \frac{5}{4}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq \frac{5}{4}}$

Этап 4