Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 4 + 3 i \\ 4 - 2 i \\ 0 - 4 i \end{array}]$

Этап 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 + 3 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 3^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 9}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $16$ и $9$ .

$\sqrt{{\sqrt{25}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.5

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{{\sqrt{5^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{5^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.8

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{25 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.9

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.10

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.11

Добавим $16$ и $4$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.12

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.12.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{25 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sqrt{25 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.14

Применим правило умножения к $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{25 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.15

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.16

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.16.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.16.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.16.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.16.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5^{1} + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.16.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 5 + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.17

Умножим $4$ на $5$ .

$\sqrt{25 + 20 + {| 0 - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.18

Вычтем $4 i$ из $0$ .

$\sqrt{25 + 20 + {| - 4 i |}^{2}}$

Этап 2.19

Используем формулу $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , чтобы найти абсолютную величину.

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}}^{2}}$

Этап 2.20

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}}^{2}}$

Этап 2.21

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{0 + 16}}^{2}}$

Этап 2.22

Добавим $0$ и $16$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{16}}^{2}}$

Этап 2.23

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\sqrt{25 + 20 + {\sqrt{4^{2}}}^{2}}$

Этап 2.24

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sqrt{25 + 20 + 4^{2}}$

Этап 2.25

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 20 + 16}$

Этап 2.26

Добавим $25$ и $20$ .

$\sqrt{45 + 16}$

Этап 2.27

Добавим $45$ и $16$ .

$\sqrt{61}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{61}$

Десятичная форма:

$7.81024967 \dots$