Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ x \end{array}]$

Этап 1

Преобразование определяет отображение из

$ℝ^{2}$ в

$ℝ^{2}$ . Для доказательства того, что преобразование является линейным, необходимо убедиться в сохранении при преобразовании умножения на константу, сложения и нулевого вектора.

М:

$ℝ^{2} \to ℝ^{2}$

Этап 2

Сначала докажем, что преобразование сохраняет это свойство.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Этап 3

Создадим две матрицы для проверки сохранения свойства аддитивности для

$M$ .

$M ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \end{array}])$

Этап 4

Сложим эти две матрицы.

$M [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{array}]$

Этап 5

Применим данное преобразование к вектору.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} + y_{2} \\ x_{1} + y_{1} \end{array}]$

Этап 6

Разобьем результат на две матрицы, сгруппировав переменные.

$M (x + y) = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \end{array}]$

Этап 7

Свойство аддитивности преобразования сохраняется.

$M (x + y) = M (x) + M (y)$

Этап 8

Чтобы преобразование было линейным, оно должно сохранять результат скалярного произведения.

$M (p x) = T (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}])$

Этап 9

Вынесем

$p$ из каждого элемента.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим

$p$ на каждый элемент матрицы.

$M (p x) = M ([\begin{array}{c} p x \\ p y \end{array}])$

Этап 9.2

Применим данное преобразование к вектору.

Этап 9.3

Перегруппируем

$p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p y \end{array}]$

Этап 9.4

Разложим элемент

$0, 0$ на множители, умножив на

$p y$ .

$M (p x) = [\begin{array}{c} p (y) \end{array}]$

Этап 10

Второе свойство линейных преобразований сохраняется для этого преобразования.

$M (p [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}]) = p M (x)$

Этап 11

Чтобы преобразование было линейным, нулевой вектор должен быть сохранен.

$M (0) = 0$

Этап 12

Применим данное преобразование к вектору.

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 13

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перегруппируем

$0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 13.2

Перегруппируем

$0$ .

$M (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 14

Нулевой вектор сохраняется при этом преобразовании.

$M (0) = 0$

Этап 15

Поскольку все три свойства линейных преобразований не выполняются, это преобразование не является линейным.

Линейное преобразование