Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} 3 & 2 4 & 6 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

p (λ)

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера

$2$ представляет собой квадратную матрицу

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 + 0 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим

$4$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ 4 & 6 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Развернем

$(3 - λ) (6 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 (6 - λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ (6 - λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 3 \cdot 6 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.1

Умножим

$3$ на

$6$ .

$p (λ) = 18 + 3 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.1.3

Умножим

$6$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.1.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.1.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.1.7

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = 18 - 3 λ - 6 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.2.2

Вычтем

$6 λ$ из

$- 3 λ$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 4 \cdot 2$

Этап 5.2.1.3

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$p (λ) = 18 - 9 λ + λ^{2} - 8$

Этап 5.2.2

Вычтем

$8$ из

$18$ .

$p (λ) = - 9 λ + λ^{2} + 10$

Этап 5.2.3

Изменим порядок

$- 9 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 9 λ + 10$