Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $- 1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $- 2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 2 - λ & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 2 & 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (- 2 - λ) | \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 3 - λ & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) ((- 3 - λ) (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1

Развернем $(- 3 - λ) (1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 \cdot 1 - 3 (- λ) - λ (1 - λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 \cdot 1 - 3 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 - 3 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - λ (- λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 3 λ - λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.2.2

Вычтем $λ$ из $3 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 2 λ + λ^{2} - 2 \cdot - 2) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (- 3 + 2 λ + λ^{2} + 4) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (2 λ + λ^{2} + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.2.2.3

Изменим порядок $2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 2 & - 2 \\ 2 & 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 (1 - λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 \cdot 1 - 2 (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 - 2 (- λ) - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 + 2 λ - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (- 2 + 2 λ + 4) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.3.2.2

Добавим $- 2$ и $4$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 | \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 2 & - 3 - λ \\ 2 & 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 - λ))$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 - 2 (- 3 - λ))$

Этап 1.5.4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 - 2 \cdot - 3 - 2 (- λ))$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 + 6 - 2 (- λ))$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (- 4 + 6 + 2 λ)$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 + 2 λ)$

Этап 1.5.4.2.3

Изменим порядок $2$ и $2 λ$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 λ + 2)$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 1 (2 λ + 2) - 1 (2 λ + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Вычтем $1 (2 λ + 2)$ из $1 (2 λ + 2)$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1) + 0$

Этап 1.5.5.1.2

Добавим $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$

Этап 1.5.5.2

Развернем $(- 2 - λ) (λ^{2} + 2 λ + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 2 (2 λ) - 2 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 \cdot 1 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - (λ^{2} λ) - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{2 + 1} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - λ (2 λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ \cdot λ - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 1 \cdot 2 λ^{2} - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ \cdot 1$

Этап 1.5.5.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ$

Этап 1.5.5.4

Вычтем $2 λ^{2}$ из $- 2 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 4 λ - 2 - λ^{3} - λ$

Этап 1.5.5.5

Вычтем $λ$ из $- 4 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 - λ^{3}$

Этап 1.5.5.6

Перенесем $- 2$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - 5 λ - λ^{3} - 2$

Этап 1.5.5.7

Перенесем $- 5 λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{2} - λ^{3} - 5 λ - 2$

Этап 1.5.5.8

Изменим порядок $- 4 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3} - 4 λ^{2} - 5 λ - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 4 λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - 5 λ - 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 λ$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - (5 λ) - 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.4

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$- (λ^{3}) - (4 λ^{2}) - (5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3}) - (4 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2}) - (5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3} + 4 λ^{2}) - (5 λ)$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ) - 1 \cdot 2 = 0$

Этап 1.7.1.1.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ) - 1 (2)$ .

$- (λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 1.7.1.2.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} + 4 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 2$

Этап 1.7.1.2.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 + 4 {(- 1)}^{2} + 5 \cdot - 1 + 2$

Этап 1.7.1.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot - 1 + 2$

Этап 1.7.1.2.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$- 1 + 4 + 5 \cdot - 1 + 2$

Этап 1.7.1.2.3.5

Добавим $- 1$ и $4$ .

$3 + 5 \cdot - 1 + 2$

Этап 1.7.1.2.3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 - 5 + 2$

Этап 1.7.1.2.3.7

Вычтем $5$ из $3$ .

$- 2 + 2$

Этап 1.7.1.2.3.8

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 1.7.1.2.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $λ + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2}{λ + 1}$

Этап 1.7.1.2.5

Разделим $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ на $λ + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$4 λ^{2}$

$5 λ$

$2$

Этап 1.7.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$

Этап 1.7.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			+	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} + λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$

Этап 1.7.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$

Этап 1.7.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$

Этап 1.7.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					+	$3 λ^{2}$	+	$3 λ$

Этап 1.7.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 λ^{2} + 3 λ$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$

Этап 1.7.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$

Этап 1.7.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$

Этап 1.7.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$

Этап 1.7.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							+	$2 λ$	+	$2$

Этап 1.7.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 λ + 2$ .

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							-	$2 λ$	-	$2$

Этап 1.7.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$3 λ$	+	$2$
$λ$	+	$1$		$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$	+	$5 λ$	+	$2$
			-	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$3 λ^{2}$	+	$5 λ$
					-	$3 λ^{2}$	-	$3 λ$
							+	$2 λ$	+	$2$
							-	$2 λ$	-	$2$
										$0$

Этап 1.7.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} + 3 λ + 2$

Этап 1.7.1.2.6

Запишем $λ^{3} + 4 λ^{2} + 5 λ + 2$ в виде набора множителей.

$- ((λ + 1) (λ^{2} + 3 λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.3

Разложим $λ^{2} + 3 λ + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1

Разложим $λ^{2} + 3 λ + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.3.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.7.1.3.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((λ + 1) ((λ + 1) (λ + 2))) = 0$

Этап 1.7.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.1

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.4.1.1

Возведем $λ + 1$ в степень $1$ .

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.4.1.2

Возведем $λ + 1$ в степень $1$ .

$- ((λ + 1) (λ + 1) (λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- ({(λ + 1)}^{1 + 1} (λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- ({(λ + 1)}^{2} (λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- {(λ + 1)}^{2} (λ + 2) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

$λ + 2 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем ${(λ + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем ${(λ + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Этап 1.7.3.2

Решим ${(λ + 1)}^{2} = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Приравняем $λ + 1$ к $0$ .

$λ + 1 = 0$

Этап 1.7.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 1$

Этап 1.7.4

Приравняем $λ + 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $λ + 2$ к $0$ .

$λ + 2 = 0$

Этап 1.7.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 2$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- {(λ + 1)}^{2} (λ + 2) = 0$ верно.

$λ = - 1, - 2$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 2 + 1 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.4

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 + 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.5

Добавим $- 3$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.6

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.7

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.8

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 2 & - 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 & - 2 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + y + z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - z \\ y \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} - 2 + 2 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 + 0 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 + 0 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 + 0 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 3 + 2 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим $- 3$ и $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 + 0 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $- 2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 + 0 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 + 0 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 1 + 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Добавим $1$ и $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 \\ - 2 & - 1 & - 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 2 & - 1 & - 2 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 1 & - 2 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 3 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 1 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ - z \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$