Введите задачу...
Линейная алгебра Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения .
Этап 1.2
Единичная матрица размера представляет собой квадратную матрицу с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
Этап 1.3
Подставим известное значение в .
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Подставим вместо .
Этап 1.4
Упростим.
Этап 1.4.1
Упростим каждый член.
Этап 1.4.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 1.4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 1.4.1.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2
Умножим .
Этап 1.4.1.2.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3
Умножим .
Этап 1.4.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.4
Умножим на .
Этап 1.4.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 1.4.3
Simplify each element.
Этап 1.4.3.1
Добавим и .
Этап 1.4.3.2
Добавим и .
Этап 1.5
Find the determinant.
Этап 1.5.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 1.5.2
Упростим определитель.
Этап 1.5.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.5.2.1.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.5.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.5.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.5.2.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.5.2.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.2.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.5.2.1.2.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.2.1.2.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.5.2.1.2.1.5.1
Перенесем .
Этап 1.5.2.1.2.1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.2.1.2.1.6
Умножим на .
Этап 1.5.2.1.2.1.7
Умножим на .
Этап 1.5.2.1.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.2.1.3
Умножим .
Этап 1.5.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.5.2.2
Добавим и .
Этап 1.5.2.3
Изменим порядок и .
Этап 1.6
Примем характеристический многочлен равным , чтобы найти собственные значения .
Этап 1.7
Решим относительно .
Этап 1.7.1
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Этап 1.7.2
Подставим значения , и в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно .
Этап 1.7.3
Упростим.
Этап 1.7.3.1
Упростим числитель.
Этап 1.7.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 1.7.3.1.2
Умножим .
Этап 1.7.3.1.2.1
Умножим на .
Этап 1.7.3.1.2.2
Умножим на .
Этап 1.7.3.1.3
Вычтем из .
Этап 1.7.3.1.4
Перепишем в виде .
Этап 1.7.3.1.5
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 1.7.3.2
Умножим на .
Этап 1.7.3.3
Упростим .
Этап 1.7.4
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
Этап 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Этап 3
Этап 3.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 3.2
Упростим.
Этап 3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 3.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 3.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.2
Умножим .
Этап 3.2.1.2.2.1
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.3
Умножим .
Этап 3.2.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 3.2.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 3.2.3
Simplify each element.
Этап 3.2.3.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.2.3.2
Объединим и .
Этап 3.2.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.2.3.4
Упростим числитель.
Этап 3.2.3.4.1
Умножим на .
Этап 3.2.3.4.2
Вычтем из .
Этап 3.2.3.5
Сократим общий множитель и .
Этап 3.2.3.5.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.2.3.5.2
Сократим общие множители.
Этап 3.2.3.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.2.3.5.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.2.3.5.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.2.3.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 3.2.3.7
Добавим и .
Этап 3.2.3.8
Добавим и .
Этап 3.2.3.9
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.2.3.10
Объединим и .
Этап 3.2.3.11
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.2.3.12
Упростим числитель.
Этап 3.2.3.12.1
Умножим на .
Этап 3.2.3.12.2
Вычтем из .
Этап 3.2.3.13
Сократим общий множитель и .
Этап 3.2.3.13.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.2.3.13.2
Сократим общие множители.
Этап 3.2.3.13.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.2.3.13.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.2.3.13.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 3.3
Find the null space when .
Этап 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Этап 3.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Этап 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 3.3.2.1.2
Упростим .
Этап 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.2.2
Упростим .
Этап 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Этап 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Этап 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Этап 3.3.6
Write as a solution set.
Этап 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Этап 4
Этап 4.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 4.2
Упростим.
Этап 4.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 4.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 4.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.2
Умножим .
Этап 4.2.1.2.2.1
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.3
Умножим .
Этап 4.2.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 4.2.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 4.2.3
Simplify each element.
Этап 4.2.3.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.2.3.2
Объединим и .
Этап 4.2.3.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.2.3.4
Упростим числитель.
Этап 4.2.3.4.1
Умножим на .
Этап 4.2.3.4.2
Вычтем из .
Этап 4.2.3.5
Разделим на .
Этап 4.2.3.6
Добавим и .
Этап 4.2.3.7
Добавим и .
Этап 4.2.3.8
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 4.2.3.9
Объединим и .
Этап 4.2.3.10
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 4.2.3.11
Упростим числитель.
Этап 4.2.3.11.1
Умножим на .
Этап 4.2.3.11.2
Вычтем из .
Этап 4.2.3.12
Разделим на .
Этап 4.3
Find the null space when .
Этап 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Этап 4.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Этап 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 4.3.2.1.2
Упростим .
Этап 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.2.2
Упростим .
Этап 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Этап 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Этап 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Этап 4.3.6
Write as a solution set.
Этап 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Этап 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.