Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) ((1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Развернем $(1 - λ) (- 1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- λ$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- λ \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.2

Добавим $- λ$ и $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2) + 0$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Объединим противоположные члены в $0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Добавим $0$ и $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

Этап 1.5.5.1.2

Добавим $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$

Этап 1.5.5.2

Развернем $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 1 (λ^{2} - 3) - λ (λ^{2} - 3)$

Этап 1.5.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ (λ^{2} - 3)$

Этап 1.5.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

Этап 1.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Перепишем $- 1 λ^{2}$ в виде $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

Этап 1.5.5.3.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

Этап 1.5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 3$

Этап 1.5.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 3$

Этап 1.5.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 3$

Этап 1.5.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} - λ \cdot - 3$

Этап 1.5.5.3.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} + 3 λ$

Этап 1.5.5.4

Перенесем $3$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 3 λ + 3$

Этап 1.5.5.5

Изменим порядок $- λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- λ^{3} - λ^{2}) + 3 λ + 3 = 0$

Этап 1.7.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$λ^{2} (- λ - 1) - 3 (- λ - 1) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ - 1$ .

$(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- λ - 1 = 0$

$λ^{2} - 3 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $- λ - 1$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $- λ - 1$ к $0$ .

$- λ - 1 = 0$

Этап 1.7.3.2

Решим $- λ - 1 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- λ = 1$

Этап 1.7.3.2.2

Разделим каждый член $- λ = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.7.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.7.3.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.7.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$λ = - 1$

Этап 1.7.4

Приравняем $λ^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $λ^{2} - 3$ к $0$ .

$λ^{2} - 3 = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим $λ^{2} - 3 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$λ^{2} = 3$

Этап 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

Этап 1.7.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$λ = \sqrt{3}$

Этап 1.7.4.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$λ = - \sqrt{3}$

Этап 1.7.4.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$ верно.

$λ = - 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.6

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.7

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.9

Добавим $- 1$ и $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- \sqrt{3}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8.2

Умножим $0$ на $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} & \frac{1}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 - \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{- 1 - \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $\sqrt{3}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим $\sqrt{3}$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.5

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.6

Умножим $\sqrt{3}$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.7

Умножим $\sqrt{3}$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.8

Умножим $\sqrt{3}$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.9

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.2.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.2.3.5

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Этап 5.3

Find the null space when $λ = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} & \frac{1}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 + \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$