Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $2$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & 1 \\ 0 & 3 - λ & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 3 - λ & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 5 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Развернем $(3 - λ) (- 1 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot - 1 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 + 3 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- λ \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + 1 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3.2

Умножим $λ$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - λ (- λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 3 λ + λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.2

Добавим $- 3 λ$ и $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 1) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 3 - 2 λ + λ^{2} - 5) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 2 λ + λ^{2} - 8) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.3

Изменим порядок $- 2 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8) + 0$

Этап 1.5.5.1.2

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$

Этап 1.5.5.2

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 8)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 2 λ) + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.2

Умножим $- 2 λ$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1 \cdot - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.4

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.4.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.4.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - λ (- 2 λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.6

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.6.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.6.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} - λ \cdot - 8$

Этап 1.5.5.3.8

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 2 λ^{2} + 8 λ$

Этап 1.5.5.4

Добавим $λ^{2}$ и $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 2 λ - 8 - λ^{3} + 8 λ$

Этап 1.5.5.5

Добавим $- 2 λ$ и $8 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - 8 - λ^{3}$

Этап 1.5.5.6

Перенесем $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} + 6 λ - λ^{3} - 8$

Этап 1.5.5.7

Перенесем $6 λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - λ^{3} + 6 λ - 8$

Этап 1.5.5.8

Изменим порядок $3 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 3 λ^{2} + 6 λ - 8 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Перегруппируем члены.

$- λ^{3} - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$- (λ^{3}) - 1 \cdot 8 + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3}) - 1 (8)$ .

$- (λ^{3} + 8) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.3

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$- (λ^{3} + 2^{3}) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = λ$ и $b = 2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - λ \cdot 2 + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.5.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 2^{2})) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.5.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- ((λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ^{2} + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.6

Вынесем множитель $3 λ$ из $3 λ^{2} + 6 λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.6.1

Вынесем множитель $3 λ$ из $3 λ^{2}$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 6 λ = 0$

Этап 1.7.1.6.2

Вынесем множитель $3 λ$ из $6 λ$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ) + 3 λ (2) = 0$

Этап 1.7.1.6.3

Вынесем множитель $3 λ$ из $3 λ (λ) + 3 λ (2)$ .

$- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2) = 0$

Этап 1.7.1.7

Вынесем множитель $λ + 2$ из $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ (λ + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.7.1

Вынесем множитель $λ + 2$ из $- (λ + 2) (λ^{2} - 2 λ + 4)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + 3 λ (λ + 2) = 0$

Этап 1.7.1.7.2

Вынесем множитель $λ + 2$ из $3 λ (λ + 2)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ) = 0$

Этап 1.7.1.7.3

Вынесем множитель $λ + 2$ из $(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4)) + (λ + 2) (3 λ)$ .

$(λ + 2) (- 1 (λ^{2} - 2 λ + 4) + 3 λ) = 0$

Этап 1.7.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ + 2) (- 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Этап 1.7.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.9.1

Перепишем $- 1 λ^{2}$ в виде $- λ^{2}$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} - 1 (- 2 λ) - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Этап 1.7.1.9.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 1 \cdot 4 + 3 λ) = 0$

Этап 1.7.1.9.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 2 λ - 4 + 3 λ) = 0$

Этап 1.7.1.10

Добавим $2 λ$ и $3 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.11.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.11.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.11.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 λ$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + 5 (λ) - 4) = 0$

Этап 1.7.1.11.1.1.2

Запишем $5$ как $1$ плюс $4$

$(λ + 2) (- λ^{2} + (1 + 4) λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.11.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ + 2) (- λ^{2} + 1 λ + 4 λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.11.1.1.4

Умножим $λ$ на $1$ .

$(λ + 2) (- λ^{2} + λ + 4 λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.11.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.11.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ + 2) ((- λ^{2} + λ) + 4 λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.11.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ + 2) (λ (- λ + 1) - 4 (- λ + 1)) = 0$

Этап 1.7.1.11.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ + 1$ .

$(λ + 2) ((- λ + 1) (λ - 4)) = 0$

Этап 1.7.1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ + 2 = 0$

$- λ + 1 = 0$

$λ - 4 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ + 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $λ + 2$ к $0$ .

$λ + 2 = 0$

Этап 1.7.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 2$

Этап 1.7.4

Приравняем $- λ + 1$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $- λ + 1$ к $0$ .

$- λ + 1 = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим $- λ + 1 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- λ = - 1$

Этап 1.7.4.2.2

Разделим каждый член $- λ = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$λ = 1$

Этап 1.7.5

Приравняем $λ - 4$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Приравняем $λ - 4$ к $0$ .

$λ - 4 = 0$

Этап 1.7.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$λ = 4$

Этап 1.7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ + 2) (- λ + 1) (λ - 4) = 0$ верно.

$λ = - 2, 1, 4$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.3

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.4

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.6

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.7

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.8

Умножим $2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 3.2.1.2.9

Умножим $2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Добавим $1$ и $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 + 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.5

Добавим $3$ и $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.8

Добавим $5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 + 2 \end{array}]$

Этап 3.2.3.9

Добавим $- 1$ и $2$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & 1 - 5 (\frac{1}{5}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{5} z = 0$

$y + \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{5} \\ - \frac{z}{5} \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 - 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $0$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.3

Вычтем $0$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.4

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.6

Вычтем $0$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 - 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.7

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 - 0 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.8

Вычтем $0$ из $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 1 \end{array}]$

Этап 4.2.2.9

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{1}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 2 - 5 (\frac{1}{2}) & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{9}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} \cdot 0 & - \frac{2}{9} (- \frac{9}{2}) & - \frac{2}{9} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Этап 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 4$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.3

Умножим $- 4$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим $- 4$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.6

Умножим $- 4$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.7

Умножим $- 4$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.8

Умножим $- 4$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 5.2.1.2.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 4 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.2

Добавим $2$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.5

Вычтем $4$ из $3$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 + 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.7

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 + 0 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.8

Добавим $5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 1 - 4 \end{array}]$

Этап 5.2.3.9

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 5 \end{array}]$

Этап 5.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 5 & - 5 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & - 5 - 5 \cdot - 1 & 0 - 5 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 1 & 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.2.4.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Этап 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} z \\ z \\ z \end{array}]$

Этап 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{5} \\ - \frac{1}{5} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$