Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$

Этап 2

Единичная матрица размера

$2$ представляет собой квадратную матрицу

$2 \times 2$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Этап 3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{2}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим

$1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & 0 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Вычтем

$λ$ из

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ - 1 & - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - (- 1 \cdot 1)$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.2.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.3

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.4

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - (- 1 \cdot 1)$

Этап 5.2.5

Умножим

$- (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = λ^{2} - - 1$

Этап 5.2.5.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным

$0$ , чтобы найти собственные значения

$λ$ .

$λ^{2} + 1 = 0$

Этап 7

Решим относительно

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем

$1$ из обеих частей уравнения.

$λ^{2} = - 1$

Этап 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 7.3

Перепишем

$\sqrt{- 1}$ в виде

$i$ .

$λ = \pm i$

Этап 7.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$λ = i$

Этап 7.4.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$λ = - i$

Этап 7.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$λ = i, - i$