Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $[\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} - 4 & 0 & 1 \\ 3 & - 6 & 3 \\ 1 & 0 & - 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 + 0 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим $3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 + 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} - 4 - λ & 0 & 1 \\ 3 & - 6 - λ & 3 \\ 1 & 0 & - 4 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Этап 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 3 & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) | \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} | + 0$

Этап 5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} - 4 - λ & 1 \\ 1 & - 4 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) ((- 4 - λ) (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Развернем $(- 4 - λ) (- 4 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 (- 4 - λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ (- 4 - λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (- 4 \cdot - 4 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 - 4 (- λ) - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ - λ \cdot - 4 - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 4 λ + 4 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.2.2

Добавим $4 λ$ и $4 λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1) + 0$

Этап 5.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (16 + 8 λ + λ^{2} - 1) + 0$

Этап 5.4.2.2

Вычтем $1$ из $16$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (8 λ + λ^{2} + 15) + 0$

Этап 5.4.2.3

Изменим порядок $8 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Этап 5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Объединим противоположные члены в $0 + (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Добавим $0$ и $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15) + 0$

Этап 5.5.1.2

Добавим $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ и $0$ .

$p (λ) = (- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$

Этап 5.5.2

Развернем $(- 6 - λ) (λ^{2} + 8 λ + 15)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 6 (8 λ) - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Умножим $8$ на $- 6$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 6 \cdot 15 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.2

Умножим $- 6$ на $15$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ \cdot λ^{2} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.3

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.3.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.3.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{2 + 1} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - λ (8 λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 1 \cdot 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.6

Умножим $- 1$ на $8$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - λ \cdot 15$

Этап 5.5.3.7

Умножим $15$ на $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 8 λ^{2} - 15 λ$

Этап 5.5.4

Вычтем $8 λ^{2}$ из $- 6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 48 λ - 90 - λ^{3} - 15 λ$

Этап 5.5.5

Вычтем $15 λ$ из $- 48 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 - λ^{3}$

Этап 5.5.6

Перенесем $- 90$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - 63 λ - λ^{3} - 90$

Этап 5.5.7

Перенесем $- 63 λ$ .

$p (λ) = - 14 λ^{2} - λ^{3} - 63 λ - 90$

Этап 5.5.8

Изменим порядок $- 14 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$

Этап 6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Этап 7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3} - 14 λ^{2} - 63 λ - 90$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- λ^{3}$ .

$- (λ^{3}) - 14 λ^{2} - 63 λ - 90 = 0$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 14 λ^{2}$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - 63 λ - 90 = 0$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 63 λ$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 90 = 0$

Этап 7.1.1.4

Перепишем $- 90$ в виде $- 1 (90)$ .

$- (λ^{3}) - (14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Этап 7.1.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3}) - (14 λ^{2})$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Этап 7.1.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3} + 14 λ^{2}) - (63 λ)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 \cdot 90 = 0$

Этап 7.1.1.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ) - 1 (90)$ .

$- (λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90) = 0$

Этап 7.1.2

Разложим $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

$q = \pm 1$

Этап 7.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 30, \pm 5, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 10$

Этап 7.1.2.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

${(- 3)}^{3} + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Этап 7.1.2.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$- 27 + 14 {(- 3)}^{2} + 63 \cdot - 3 + 90$

Этап 7.1.2.3.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 27 + 14 \cdot 9 + 63 \cdot - 3 + 90$

Этап 7.1.2.3.4

Умножим $14$ на $9$ .

$- 27 + 126 + 63 \cdot - 3 + 90$

Этап 7.1.2.3.5

Добавим $- 27$ и $126$ .

$99 + 63 \cdot - 3 + 90$

Этап 7.1.2.3.6

Умножим $63$ на $- 3$ .

$99 - 189 + 90$

Этап 7.1.2.3.7

Вычтем $189$ из $99$ .

$- 90 + 90$

Этап 7.1.2.3.8

Добавим $- 90$ и $90$ .

$0$

Этап 7.1.2.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $λ + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90}{λ + 3}$

Этап 7.1.2.5

Разделим $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ на $λ + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$14 λ^{2}$

$63 λ$

$90$

Этап 7.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$

Этап 7.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $λ^{3} + 3 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$

Этап 7.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Этап 7.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $11 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$

Этап 7.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					+	$11 λ^{2}$	+	$33 λ$

Этап 7.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $11 λ^{2} + 33 λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$

Этап 7.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$

Этап 7.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Этап 7.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $30 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$

Этап 7.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							+	$30 λ$	+	$90$

Этап 7.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $30 λ + 90$ .

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$

Этап 7.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$λ^{2}$	+	$11 λ$	+	$30$
$λ$	+	$3$		$λ^{3}$	+	$14 λ^{2}$	+	$63 λ$	+	$90$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$
					+	$11 λ^{2}$	+	$63 λ$
					-	$11 λ^{2}$	-	$33 λ$
							+	$30 λ$	+	$90$
							-	$30 λ$	-	$90$
										$0$

Этап 7.1.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$λ^{2} + 11 λ + 30$

Этап 7.1.2.6

Запишем $λ^{3} + 14 λ^{2} + 63 λ + 90$ в виде набора множителей.

$- ((λ + 3) (λ^{2} + 11 λ + 30)) = 0$

Этап 7.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Разложим $λ^{2} + 11 λ + 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1

Разложим $λ^{2} + 11 λ + 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $30$ , а сумма — $11$ .

$5, 6$

Этап 7.1.3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((λ + 3) ((λ + 5) (λ + 6))) = 0$

Этап 7.1.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- ((λ + 3) (λ + 5) (λ + 6)) = 0$

Этап 7.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$

Этап 7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ + 3 = 0$

$λ + 5 = 0$

$λ + 6 = 0$

Этап 7.3

Приравняем $λ + 3$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Приравняем $λ + 3$ к $0$ .

$λ + 3 = 0$

Этап 7.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 3$

Этап 7.4

Приравняем $λ + 5$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $λ + 5$ к $0$ .

$λ + 5 = 0$

Этап 7.4.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 5$

Этап 7.5

Приравняем $λ + 6$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $λ + 6$ к $0$ .

$λ + 6 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$λ = - 6$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (λ + 3) (λ + 5) (λ + 6) = 0$ верно.

$λ = - 3, - 5, - 6$