Введите задачу...
Линейная алгебра Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Запишем формулу для построения характеристического уравнения .
Этап 1.2
Единичная матрица размера представляет собой квадратную матрицу с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.
Этап 1.3
Подставим известное значение в .
Этап 1.3.1
Подставим вместо .
Этап 1.3.2
Подставим вместо .
Этап 1.4
Упростим.
Этап 1.4.1
Упростим каждый член.
Этап 1.4.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 1.4.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 1.4.1.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2
Умножим .
Этап 1.4.1.2.2.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.2.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3
Умножим .
Этап 1.4.1.2.3.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.3.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.4
Умножим .
Этап 1.4.1.2.4.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.5
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.6
Умножим .
Этап 1.4.1.2.6.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.6.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.7
Умножим .
Этап 1.4.1.2.7.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.7.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.8
Умножим .
Этап 1.4.1.2.8.1
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.8.2
Умножим на .
Этап 1.4.1.2.9
Умножим на .
Этап 1.4.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 1.4.3
Simplify each element.
Этап 1.4.3.1
Добавим и .
Этап 1.4.3.2
Добавим и .
Этап 1.4.3.3
Добавим и .
Этап 1.4.3.4
Добавим и .
Этап 1.4.3.5
Добавим и .
Этап 1.4.3.6
Добавим и .
Этап 1.5
Find the determinant.
Этап 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
Этап 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
Этап 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
Этап 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
Этап 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
Этап 1.5.1.9
Add the terms together.
Этап 1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.3
Найдем значение .
Этап 1.5.3.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 1.5.3.2
Упростим определитель.
Этап 1.5.3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.5.3.2.1.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 1.5.3.2.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.3.2.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.3.2.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.3.2.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 1.5.3.2.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.5.3.2.1.2.1.1
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.1.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.1.2.1.3
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.1.2.1.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.3.2.1.2.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.5.3.2.1.2.1.5.1
Перенесем .
Этап 1.5.3.2.1.2.1.5.2
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.1.2.1.6
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.1.2.1.7
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.1.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.3.2.1.3
Умножим .
Этап 1.5.3.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.5.3.2.2
Вычтем из .
Этап 1.5.3.2.3
Изменим порядок и .
Этап 1.5.4
Найдем значение .
Этап 1.5.4.1
Определитель матрицы можно найти, используя формулу .
Этап 1.5.4.2
Упростим определитель.
Этап 1.5.4.2.1
Упростим каждый член.
Этап 1.5.4.2.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.5.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.3
Умножим .
Этап 1.5.4.2.1.3.1
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.3.2
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.1.4
Умножим на .
Этап 1.5.4.2.2
Добавим и .
Этап 1.5.4.2.3
Изменим порядок и .
Этап 1.5.5
Упростим определитель.
Этап 1.5.5.1
Добавим и .
Этап 1.5.5.2
Упростим каждый член.
Этап 1.5.5.2.1
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 1.5.5.2.2
Упростим каждый член.
Этап 1.5.5.2.2.1
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.3
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.4
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.5.5.2.2.4.1
Перенесем .
Этап 1.5.5.2.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.4.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.5.5.2.2.4.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.5.5.2.2.4.3
Добавим и .
Этап 1.5.5.2.2.5
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.5.5.2.2.6
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.5.5.2.2.6.1
Перенесем .
Этап 1.5.5.2.2.6.2
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.7
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.2.8
Умножим на .
Этап 1.5.5.2.3
Добавим и .
Этап 1.5.5.2.4
Вычтем из .
Этап 1.5.5.2.5
Умножим на .
Этап 1.5.5.3
Объединим противоположные члены в .
Этап 1.5.5.3.1
Вычтем из .
Этап 1.5.5.3.2
Добавим и .
Этап 1.5.5.4
Добавим и .
Этап 1.5.5.5
Изменим порядок и .
Этап 1.6
Примем характеристический многочлен равным , чтобы найти собственные значения .
Этап 1.7
Решим относительно .
Этап 1.7.1
Разложим левую часть уравнения на множители.
Этап 1.7.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 1.7.1.2
Разложим на множители.
Этап 1.7.1.2.1
Разложим на множители, используя метод группировки.
Этап 1.7.1.2.1.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 1.7.1.2.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 1.7.1.2.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 1.7.2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 1.7.3
Приравняем к .
Этап 1.7.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 1.7.4.1
Приравняем к .
Этап 1.7.4.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.7.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 1.7.5.1
Приравняем к .
Этап 1.7.5.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 1.7.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
Этап 3
Этап 3.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 3.2
Упростим.
Этап 3.2.1
Упростим каждый член.
Этап 3.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 3.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 3.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.5
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.6
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.7
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.8
Умножим на .
Этап 3.2.1.2.9
Умножим на .
Этап 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
Этап 3.2.2.1
Сложим соответствующие элементы.
Этап 3.2.2.2
Simplify each element.
Этап 3.2.2.2.1
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.2
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.3
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.4
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.5
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.6
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.7
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.8
Добавим и .
Этап 3.2.2.2.9
Добавим и .
Этап 3.3
Find the null space when .
Этап 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
Этап 3.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Этап 3.3.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.1.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.1.2
Упростим .
Этап 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.2.2
Упростим .
Этап 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 3.3.2.3.2
Упростим .
Этап 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Этап 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Этап 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Этап 3.3.6
Write as a solution set.
Этап 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Этап 4
Этап 4.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 4.2
Упростим.
Этап 4.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.2.1.1
Умножим на каждый элемент матрицы.
Этап 4.2.1.2
Упростим каждый элемент матрицы.
Этап 4.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.2
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.3
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.4
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.5
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.6
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.7
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.8
Умножим на .
Этап 4.2.1.2.9
Умножим на .
Этап 4.2.2
Сложим соответствующие элементы.
Этап 4.2.3
Simplify each element.
Этап 4.2.3.1
Вычтем из .
Этап 4.2.3.2
Добавим и .
Этап 4.2.3.3
Добавим и .
Этап 4.2.3.4
Добавим и .
Этап 4.2.3.5
Вычтем из .
Этап 4.2.3.6
Добавим и .
Этап 4.2.3.7
Добавим и .
Этап 4.2.3.8
Добавим и .
Этап 4.2.3.9
Вычтем из .
Этап 4.3
Find the null space when .
Этап 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
Этап 4.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Этап 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 4.3.2.1.2
Упростим .
Этап 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.2.2
Упростим .
Этап 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 4.3.2.3.2
Упростим .
Этап 4.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.4.2
Упростим .
Этап 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 4.3.2.5.2
Упростим .
Этап 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Этап 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Этап 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Этап 4.3.6
Write as a solution set.
Этап 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Этап 5
Этап 5.1
Подставим известные значения в формулу.
Этап 5.2
Упростим.
Этап 5.2.1
Вычтем соответствующие элементы.
Этап 5.2.2
Simplify each element.
Этап 5.2.2.1
Вычтем из .
Этап 5.2.2.2
Вычтем из .
Этап 5.2.2.3
Вычтем из .
Этап 5.2.2.4
Вычтем из .
Этап 5.2.2.5
Вычтем из .
Этап 5.2.2.6
Вычтем из .
Этап 5.2.2.7
Вычтем из .
Этап 5.2.2.8
Вычтем из .
Этап 5.2.2.9
Вычтем из .
Этап 5.3
Find the null space when .
Этап 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
Этап 5.3.2
Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.
Этап 5.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
Этап 5.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 5.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 5.3.2.2.2
Упростим .
Этап 5.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 5.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
Этап 5.3.2.3.2
Упростим .
Этап 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 5.3.2.4.2
Упростим .
Этап 5.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 5.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
Этап 5.3.2.5.2
Упростим .
Этап 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
Этап 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
Этап 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
Этап 5.3.6
Write as a solution set.
Этап 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
Этап 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.