Линейная алгебра Примеры

$A = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Найдем собственные значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения $p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$

Этап 1.2

Единичная матрица размера $3$ представляет собой квадратную матрицу $3 \times 3$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 1.3

Подставим известное значение в $p (λ) = определитель (A - λ I_{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}]$ вместо $A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Этап 1.3.2

Подставим $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо $I_{3}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.2.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.3.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.4.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.6.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.6.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.7.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.7.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8

Умножим $- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.8.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.8.2

Умножим $0$ на $λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 1.4.1.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 1.4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.4

Добавим $0$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.5

Добавим $- 3$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.4.3.6

Добавим $5$ и $0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - λ \end{array}]$

Этап 1.5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Этап 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$

Этап 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Этап 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Этап 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Этап 1.5.2

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ - 3 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$

Этап 1.5.3

Умножим $0$ на $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 3 & 5 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Этап 1.5.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 2 - λ & 0 \\ 5 & 2 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Развернем $(2 - λ) (2 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.1.7

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.2.2

Вычтем $2 λ$ из $- 2 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - 5 \cdot 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.1.3

Умножим $- 5$ на $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $4 - 4 λ + λ^{2}$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2}) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.3

Перенесем $4$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 4) + 0 + 0$

Этап 1.5.4.2.4

Изменим порядок $- 4 λ$ и $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$

Этап 1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Объединим противоположные члены в $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1.1

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4) + 0$

Этап 1.5.5.1.2

Добавим $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ и $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$

Этап 1.5.5.2

Развернем $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.1

Умножим $λ^{2}$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.2

Умножим $- 4 λ$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 1 \cdot 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.4

Умножим $λ$ на $λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.4.1

Перенесем $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.4.2

Умножим $λ^{2}$ на $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.4.2.1

Возведем $λ$ в степень $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.6

Умножим $λ$ на $λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.3.6.1

Перенесем $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.6.2

Умножим $λ$ на $λ$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 4$

Этап 1.5.5.3.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$p (λ) = λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 4 λ$

Этап 1.5.5.4

Добавим $λ^{2}$ и $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 4 λ + 4 - λ^{3} - 4 λ$

Этап 1.5.5.5

Вычтем $4 λ$ из $- 4 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ + 4 - λ^{3}$

Этап 1.5.5.6

Перенесем $4$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - 8 λ - λ^{3} + 4$

Этап 1.5.5.7

Перенесем $- 8 λ$ .

$p (λ) = 5 λ^{2} - λ^{3} - 8 λ + 4$

Этап 1.5.5.8

Изменим порядок $5 λ^{2}$ и $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$

Этап 1.6

Примем характеристический многочлен равным $0$ , чтобы найти собственные значения $λ$ .

$- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4 = 0$

Этап 1.7

Решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Разложим $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 1.7.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.7.1.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 5 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$- 1 + 5 - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.6

Добавим $- 1$ и $5$ .

$4 - 8 \cdot 1 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.7

Умножим $- 8$ на $1$ .

$4 - 8 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.8

Вычтем $8$ из $4$ .

$- 4 + 4$

Этап 1.7.1.1.3.9

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 1.7.1.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $λ - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4}{λ - 1}$

Этап 1.7.1.1.5

Разделим $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ на $λ - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$λ$

$1$

$λ^{3}$

$5 λ^{2}$

$8 λ$

$4$

Этап 1.7.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- λ^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$

Этап 1.7.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- λ^{3} + λ^{2}$ .

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

Этап 1.7.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Этап 1.7.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 λ^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Этап 1.7.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$4 λ$

Этап 1.7.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 λ^{2} - 4 λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$

Этап 1.7.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$

Этап 1.7.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Этап 1.7.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 λ$ на член с максимальной степенью в делителе $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$

Этап 1.7.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							-	$4 λ$	+	$4$

Этап 1.7.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 λ + 4$ .

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$

Этап 1.7.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$4$
$λ$	-	$1$	-	$λ^{3}$	+	$5 λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$4 λ$
							-	$4 λ$	+	$4$
							+	$4 λ$	-	$4$
										$0$

Этап 1.7.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- λ^{2} + 4 λ - 4$

Этап 1.7.1.1.6

Запишем $- λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 4$ в виде набора множителей.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 λ$ .

$(λ - 1) (- λ^{2} + 4 (λ) - 4) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.1.2

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$(λ - 1) (- λ^{2} + (2 + 2) λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(λ - 1) (- λ^{2} + 2 λ + 2 λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(λ - 1) ((- λ^{2} + 2 λ) + 2 λ - 4) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(λ - 1) (λ (- λ + 2) - 2 (- λ + 2)) = 0$

Этап 1.7.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- λ + 2$ .

$(λ - 1) ((- λ + 2) (λ - 2)) = 0$

Этап 1.7.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$

Этап 1.7.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$λ - 1 = 0$

$- λ + 2 = 0$

$λ - 2 = 0$

Этап 1.7.3

Приравняем $λ - 1$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Приравняем $λ - 1$ к $0$ .

$λ - 1 = 0$

Этап 1.7.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$λ = 1$

Этап 1.7.4

Приравняем $- λ + 2$ к $0$ , затем решим относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Приравняем $- λ + 2$ к $0$ .

$- λ + 2 = 0$

Этап 1.7.4.2

Решим $- λ + 2 = 0$ относительно $λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- λ = - 2$

Этап 1.7.4.2.2

Разделим каждый член $- λ = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.1

Разделим каждый член $- λ = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{λ}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.2.2

Разделим $λ$ на $1$ .

$λ = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 1.7.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$λ = 2$

Этап 1.7.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(λ - 1) (- λ + 2) (λ - 2) = 0$ верно.

$λ = 1, 2$

Этап 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Этап 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 - 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 - 0 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.4

Вычтем $0$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.5

Вычтем $1$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.6

Вычтем $0$ из $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 - 0 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.7

Вычтем $0$ из $- 3$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 - 0 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.8

Вычтем $0$ из $5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 1 \end{array}]$

Этап 3.2.2.9

Вычтем $1$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 \end{array}]$

Этап 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{1}{8} & \frac{0}{8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - \frac{1}{8} & 0 - 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{8} z = 0$

$y + \frac{1}{8} z = 0$

$0 = 0$

Этап 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{8} \\ - \frac{z}{8} \\ z \end{array}]$

Этап 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]$

Этап 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}]}$

Этап 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим известные значения в формулу.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 2$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.6

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.7

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.8

Умножим $- 2$ на $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Этап 4.2.1.2.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.2

Сложим соответствующие элементы.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.3

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 - 2 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.5

Вычтем $2$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.6

Добавим $0$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 + 0 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.7

Добавим $- 3$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 + 0 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.8

Добавим $5$ и $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 2 - 2 \end{array}]$

Этап 4.2.3.9

Вычтем $2$ из $2$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3

Find the null space when $λ = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 0 & - 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 5 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.4

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.2.5.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Этап 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ z \end{array}]$

Этап 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Этап 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Этап 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Этап 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$