Линейная алгебра Примеры

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 4 & 1 & 7 & 2 0 & 3 & - 1 & 5 0 & 0 & 8 & 3 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Этап 1

Запишем формулу для построения характеристического уравнения

$p (λ)$ .

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$

Этап 2

Единичная матрица размера

$4$ представляет собой квадратную матрицу

$4 \times 4$ с единицами на главной диагонали и нулями на остальных местах.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Подставим известное значение в

$p (λ) = определитель (A - λ I_{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$ вместо

$A$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Этап 3.2

Подставим

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ вместо

$I_{4}$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим

$- λ$ на каждый элемент матрицы.

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.6

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.7.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.8.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.8.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.9.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.11

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.12.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.12.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.13.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.13.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.14.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.14.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15

Умножим

$- λ \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.15.1

Умножим

$0$ на

$- 1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.15.2

Умножим

$0$ на

$λ$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Этап 4.1.2.16

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$p (λ) = определитель ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Этап 4.2

Сложим соответствующие элементы.

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 + 0 & 7 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3

Simplify each element.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим

$1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.2

Добавим

$7$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.3

Добавим

$2$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.4

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.5

Добавим

$- 1$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.6

Добавим

$5$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.7

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.8

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.9

Добавим

$3$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.10

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.11

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 4.3.12

Добавим

$0$ и

$0$ .

$p (λ) = определитель [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

Этап 5

Find the determinant.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Этап 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.5

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.6

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.7

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.8

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.1.9

The minor for

$a_{41}$ is the determinant with row

$4$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Этап 5.1.10

Multiply element

$a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Этап 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Этап 5.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Этап 5.3

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Этап 5.4

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column

$1$ by its cofactor and add.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Этап 5.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.5

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.6

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Этап 5.5.1.7

The minor for

$a_{31}$ is the determinant with row

$3$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$

Этап 5.5.1.8

Multiply element

$a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$

Этап 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.3

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) ((8 - λ) (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Развернем

$(8 - λ) (4 - λ)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 (4 - λ) - λ (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 \cdot 4 + 8 (- λ) - λ (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 \cdot 4 + 8 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.1

Умножим

$8$ на

$4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 + 8 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$8$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.3

Умножим

$4$ на

$- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.6

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.1.7

Умножим

$λ^{2}$ на

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.2.2

Вычтем

$4 λ$ из

$- 8 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.1.3

Умножим

$0$ на

$3$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.2

Добавим

$32 - 12 λ + λ^{2}$ и

$0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.3

Перенесем

$32$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (- 12 λ + λ^{2} + 32) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.4.2.4

Изменим порядок

$- 12 λ$ и

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Объединим противоположные члены в

$(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1.1

Добавим

$(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ и

$0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.1.2

Добавим

$(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ и

$0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.2

Развернем

$(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.1

Умножим

$- 12$ на

$3$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 3 \cdot 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.2

Умножим

$3$ на

$32$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3

Умножим

$λ$ на

$λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.3.1

Перенесем

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.2

Умножим

$λ^{2}$ на

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.3.2.1

Возведем

$λ$ в степень

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.3.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.5

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.3.5.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.5.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.6

Умножим

$- 1$ на

$- 12$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.3.7

Умножим

$32$ на

$- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} + 12 λ^{2} - 32 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.4

Добавим

$3 λ^{2}$ и

$12 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 32 λ) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.5

Вычтем

$32 λ$ из

$- 36 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 68 λ + 96 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.6

Перенесем

$96$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 68 λ - λ^{3} + 96) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.7

Перенесем

$- 68 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - λ^{3} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.5.5.8

Изменим порядок

$15 λ^{2}$ и

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$

Этап 5.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим противоположные члены в

$(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Добавим

$(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ и

$0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0$

Этап 5.6.1.2

Добавим

$(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ и

$0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0$

Этап 5.6.1.3

Добавим

$(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ и

$0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$

Этап 5.6.2

Развернем

$(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (15 λ^{2}) + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (15 λ^{2}) + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.2

Умножим

$15$ на

$4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.3

Умножим

$- 68$ на

$4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.4

Умножим

$4$ на

$96$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.6

Умножим

$λ$ на

$λ^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.6.1

Перенесем

$λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.6.2

Умножим

$λ^{3}$ на

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.6.2.1

Возведем

$λ$ в степень

$1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.6.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.6.3

Добавим

$3$ и

$1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.7

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + 1 λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.8

Умножим

$λ^{4}$ на

$1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ \cdot λ^{2} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.10

Умножим

$λ$ на

$λ^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.10.1

Перенесем

$λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 (λ^{2} λ) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.10.2

Умножим

$λ^{2}$ на

$λ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.10.2.1

Возведем

$λ$ в степень

$1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.10.2.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ^{2 + 1} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.10.3

Добавим

$2$ и

$1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ^{3} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.11

Умножим

$- 1$ на

$15$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 λ \cdot λ - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.13

Умножим

$λ$ на

$λ$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.13.1

Перенесем

$λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 (λ \cdot λ) - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.13.2

Умножим

$λ$ на

$λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 λ^{2} - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.14

Умножим

$- 1$ на

$- 68$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} + 68 λ^{2} - λ \cdot 96$

Этап 5.6.3.15

Умножим

$96$ на

$- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} + 68 λ^{2} - 96 λ$

Этап 5.6.4

Вычтем

$15 λ^{3}$ из

$- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} + 68 λ^{2} - 96 λ$

Этап 5.6.5

Добавим

$60 λ^{2}$ и

$68 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 96 λ$

Этап 5.6.6

Вычтем

$96 λ$ из

$- 272 λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384 + λ^{4}$

Этап 5.6.7

Перенесем

$384$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + λ^{4} + 384$

Этап 5.6.8

Перенесем

$- 368 λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} + λ^{4} - 368 λ + 384$

Этап 5.6.9

Перенесем

$128 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + λ^{4} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384$

Этап 5.6.10

Изменим порядок

$- 19 λ^{3}$ и

$λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384$