Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 x + 3 y \\ 3 x - y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 16 \end{array}]$

Этап 1

Write as a linear system of equations.

$2 x + 3 y = 7$

$3 x - y = 16$

Этап 2

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $x$ в $2 x + 3 y = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x = 7 - 3 y$

$3 x - y = 16$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $2 x = 7 - 3 y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $2 x = 7 - 3 y$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} + \frac{- 3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$3 x - y = 16$

Этап 2.2

Заменим все вхождения $x$ на $\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим все вхождения $x$ в $3 x - y = 16$ на $\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$ .

$3 (\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $3 (\frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}) - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\frac{7}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Умножим $3 (\frac{7}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{7}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21}{2} + 3 (- \frac{3 y}{2}) - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.1.3

Умножим $3 (- \frac{3 y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{21}{2} - 3 \frac{3 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{3 y}{2}$ .

$\frac{21}{2} + \frac{- 3 (3 y)}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{21}{2} + \frac{- 9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21}{2} + \frac{- 9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} - y = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} - y \cdot \frac{2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.3

Объединим $- y$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} - \frac{9 y}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21}{2} + \frac{- 9 y - y \cdot 2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21 - 9 y - y \cdot 2}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{21 - 9 y - 2 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.2.2.1.7

Вычтем $2 y$ из $- 9 y$ .

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$\frac{21 - 11 y}{2} = 16$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ в $\frac{21 - 11 y}{2} = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{21 - 11 y}{2} \cdot 2 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Упростим $\frac{21 - 11 y}{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{21 - 11 y}{2} \cdot 2 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$21 - 11 y = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$21 - 11 y = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Изменим порядок $21$ и $- 11 y$ .

$- 11 y + 21 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 16 \cdot 2$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $16$ на $2$ .

$- 11 y + 21 = 32$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 32$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y + 21 = 32$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вычтем $21$ из обеих частей уравнения.

$- 11 y = 32 - 21$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.3.1.2

Вычтем $21$ из $32$ .

$- 11 y = 11$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$- 11 y = 11$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.3.2

Разделим каждый член $- 11 y = 11$ на $- 11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Разделим каждый член $- 11 y = 11$ на $- 11$ .

$\frac{- 11 y}{- 11} = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 11 y}{- 11} = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = \frac{11}{- 11}$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.3.1

Разделим $11$ на $- 11$ .

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

$y = - 1$

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $y$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = \frac{7}{2} - \frac{3 y}{2}$ на $- 1$ .

$x = \frac{7}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$

$y = - 1$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\frac{7}{2} - \frac{3 (- 1)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{7 - 3 \cdot - 1}{2}$

$y = - 1$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$x = \frac{7 + 3}{2}$

$y = - 1$

Этап 2.4.2.1.2.2

Добавим $7$ и $3$ .

$x = \frac{10}{2}$

$y = - 1$

Этап 2.4.2.1.2.3

Разделим $10$ на $2$ .

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

$x = 5$

$y = - 1$

Этап 2.5

Перечислим все решения.

$x = 5, y = - 1$