Линейная алгебра Примеры

$20 - 21 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{20^{2} + {(- 21)}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{20^{2} + {(- 21)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $20$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{400 + {(- 21)}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $- 21$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{400 + 441}$

Этап 2.3

Добавим $400$ и $441$ .

$r = \sqrt{841}$

Этап 2.4

Перепишем $841$ в виде $29^{2}$ .

$r = \sqrt{29^{2}}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 29$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 21}{20} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{- 21}{20} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{21}{20} |)$

Этап 4.2

$- \frac{21}{20}$ приблизительно равно $- 1.05$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{21}{20}$ и вычтем абсолютное значение.

$θ̂ = \arctan (\frac{21}{20})$

Этап 4.3

Найдем значение $\arctan (\frac{21}{20})$ .

$θ̂ = 0.80978357$

Этап 5

Точка находится в четвертом квадранте, поскольку $x$ принимает положительные значения, а $y$ — отрицательные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $4$

Этап 6

$(a, b)$ находится во четвертом квадранте. $θ = - θ̂$

$θ = - 0.80978357$

Этап 7

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 8

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим ${(29)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{(- 0.80978357) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)}{2}$

Этап 8.2

Объединим $c$ и $\frac{{(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))}{2}$

Этап 8.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)))}{2}$

Этап 8.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(29)}^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (29^{\frac{1}{2}} ((- 0.80978357) + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)))}{2}$

Этап 8.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 29^{\frac{1}{2}}) (- 0.80978357 + 2 π k))}{2}$

Этап 8.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k))}{2}$

Этап 8.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 29^{\frac{1}{2}}) (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

Этап 8.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

Этап 8.5.8

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 29^{\frac{1}{2}} (- 0.80978357 + 2 π k)}{2}$

Этап 9

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(- 0.80978357) + 2 π (0)}{2})$

Этап 9.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 0 π}{2})$

Этап 9.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 0}{2})$

Этап 9.3

Добавим $- 0.80978357$ и $0$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357}{2})$

Этап 9.4

Разделим $- 0.80978357$ на $2$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot - 0.40489178$

Этап 9.5

Умножим $29^{\frac{1}{2}} c i s$ на $- 0.40489178$ .

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (- 0.40489178)$

Этап 10

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(- 0.80978357) + 2 π (1)}{2})$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{- 0.80978357 + 2 π}{2})$

Этап 10.3

Добавим $- 0.80978357$ и $2 π$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5.47340173}{2})$

Этап 10.4

Разделим $5.47340173$ на $2$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 2.73670086$

Этап 10.5

Умножим $29^{\frac{1}{2}} c i s$ на $2.73670086$ .

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (2.73670086)$

Этап 11

Перечислим решения.

$k = 0 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (- 0.40489178)$

$k = 1 : 29^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (2.73670086)$