Линейная алгебра Примеры

$x - 2 y - z = 2$ $2 x + y - 3 z = 4$ $- 2 x + 4 y + 2 z = 6$

Этап 1

Запишем систему в виде матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 & 1 & - 3 & 4 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 2 & - 3 - 2 \cdot - 1 & 4 - 2 \cdot 2 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 & 4 & 2 & 6 \end{array}]$

Этап 2.2

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & 4 + 2 \cdot - 2 & 2 + 2 \cdot - 1 & 6 + 2 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 5 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Этап 2.3

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{5}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 1}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 10 \end{array}]$

Этап 2.4

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{1}{10}$ , чтобы сделать значение в $3, 4$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{1}{10}$ , чтобы сделать значение в $3, 4$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{0}{10} & \frac{10}{10} \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.5

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 4$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 2 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 4$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.6

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 (- \frac{1}{5}) & 0 + 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - \frac{7}{5} z = 0$

$y - \frac{1}{5} z = 0$

$0 = 1$

Этап 4

Система противоречива, поэтому решение отсутствует.

$Нет решения$