Линейная алгебра Примеры

$- x + 3 y + 10 z = 8$ $4 x - 9 y - 34 z = - 17$ $3 x + 5 y - 2 z = 46$

Этап 1

Запишем систему в виде матрицы.

$[\begin{array}{c} - 1 & 3 & 10 & 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $- 1$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $- 1$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 3 & - 1 \cdot 10 & - 1 \cdot 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 4 & - 9 & - 34 & - 17 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Этап 2.2

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 9 - 4 \cdot - 3 & - 34 - 4 \cdot - 10 & - 17 - 4 \cdot - 8 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 3 & 5 & - 2 & 46 \end{array}]$

Этап 2.3

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 \cdot - 3 & - 2 - 3 \cdot - 10 & 46 - 3 \cdot - 8 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 3 & 6 & 15 \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

Этап 2.4

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{6}{3} & \frac{15}{3} \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 14 & 28 & 70 \end{array}]$

Этап 2.5

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 14 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 14 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 - 14 \cdot 0 & 14 - 14 \cdot 1 & 28 - 14 \cdot 2 & 70 - 14 \cdot 5 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & - 10 & - 8 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 10 + 3 \cdot 2 & - 8 + 3 \cdot 5 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 7 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x - 4 z = 7$

$y + 2 z = 5$

$0 = 0$

Этап 4

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(7 + 4 z, 5 - 2 z, z)$