Линейная алгебра Примеры

$- 3 + 4 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + 16}$

Этап 2.3

Добавим $9$ и $16$ .

$r = \sqrt{25}$

Этап 2.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 5$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Этап 4.2

$- \frac{4}{3}$ приблизительно равно $- 1.\overline{3}$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \frac{4}{3}$ и вычтем абсолютное значение.

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Этап 4.3

Найдем значение $\arctan (\frac{4}{3})$ .

$θ̂ = 0.92729521$

Этап 5

Точка находится во втором квадранте, поскольку $x$ принимает отрицательные значения, а $y$ — положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $2$

Этап 6

$(a, b)$ находится во втором квадранте. $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

Этап 7

Упростим $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 0.92729521$

Этап 7.2

Вычтем $0.92729521$ из $3.14159265$ .

$2.21429743$

Этап 8

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 9

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим на десятичную аппроксимацию.

${(5)}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{4}$

Этап 9.2

Вычтем $0.92729521$ из $3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{4}$

Этап 9.3

Объединим ${(5)}^{\frac{1}{4}}$ и $\frac{2.21429743 + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Этап 9.4

Объединим $c$ и $\frac{{(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Этап 9.5

Объединим $i$ и $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$

Этап 9.6

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))))}{4}$

Этап 9.7

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))))}{4}$

Этап 9.7.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)))}{4}$

Этап 9.7.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{4}}) (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Этап 9.7.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k))}{4}$

Этап 9.7.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{4}}) (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Этап 9.7.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Этап 9.7.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{4}} (2.21429743 + 2 π k)}{4}$

Этап 10

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{4})$

Этап 10.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{4})$

Этап 10.3

Вычтем $0.92729521$ из $3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{4})$

Этап 10.4

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{4})$

Этап 10.4.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{4})$

Этап 10.5

Добавим $2.21429743$ и $0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743}{4})$

Этап 10.6

Разделим $2.21429743$ на $4$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 0.55357435$

Этап 10.7

Умножим $5^{\frac{1}{4}} c i s$ на $0.55357435$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (0.55357435)$

Этап 11

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{4})$

Этап 11.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{4})$

Этап 11.3

Вычтем $0.92729521$ из $3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{4})$

Этап 11.4

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{4})$

Этап 11.5

Добавим $2.21429743$ и $2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{8.49748274}{4})$

Этап 11.6

Разделим $8.49748274$ на $4$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 2.12437068$

Этап 11.7

Умножим $5^{\frac{1}{4}} c i s$ на $2.12437068$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (2.12437068)$

Этап 12

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{4})$

Этап 12.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{4})$

Этап 12.3

Вычтем $0.92729521$ из $3.14159265$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{4})$

Этап 12.4

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{4})$

Этап 12.5

Добавим $2.21429743$ и $4 π$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{14.78066804}{4})$

Этап 12.6

Разделим $14.78066804$ на $4$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 3.69516701$

Этап 12.7

Умножим $5^{\frac{1}{4}} c i s$ на $3.69516701$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (3.69516701)$

Этап 13

Подставим $k = 3$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Избавимся от скобок.

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (3)}{4})$

Этап 13.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (3)}{4})$

Этап 13.3

Вычтем $0.92729521$ из $3.14159265$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (3)}{4})$

Этап 13.4

Умножим $3$ на $2$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{2.21429743 + 6 π}{4})$

Этап 13.5

Добавим $2.21429743$ и $6 π$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{21.06385335}{4})$

Этап 13.6

Разделим $21.06385335$ на $4$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot 5.26596333$

Этап 13.7

Умножим $5^{\frac{1}{4}} c i s$ на $5.26596333$ .

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (5.26596333)$

Этап 14

Перечислим решения.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (0.55357435)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (2.12437068)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (3.69516701)$

$k = 3 : 5^{\frac{1}{4}} c i s \cdot (5.26596333)$