Линейная алгебра Примеры

$- 4 - 4 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Этап 2.3

Добавим $16$ и $16$ .

$r = \sqrt{32}$

Этап 2.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$r = \sqrt{16 (2)}$

Этап 2.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = 4 \sqrt{2}$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $- 4$ на $- 4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Этап 4.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Этап 4.3

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Этап 5

Точка находится в третьем квадранте, поскольку и $x$ , и $y$ принимают отрицательные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $3$

Этап 6

$(a, b)$ находится в третьем квадранте. $θ = π + θ̂$

$θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 7

Упростим $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Этап 8

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 9

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Этап 9.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{3}$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{3}$

Этап 9.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{3}$

Этап 9.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$

Этап 9.5

Объединим ${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Этап 9.6

Объединим $c$ и $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Этап 9.7

Объединим $i$ и $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Этап 9.8

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Этап 9.9

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Этап 9.9.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Этап 9.9.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{3}$

Этап 9.9.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Этап 9.9.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Этап 9.9.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{3}$

Этап 10

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Этап 10.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Этап 10.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Этап 10.5.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{3})$

Этап 10.6

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{3})$

Этап 10.6.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{3})$

Этап 10.7

Добавим $\frac{5 π}{4}$ и $0$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{3})$

Этап 10.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 10.9

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 3})$

Этап 10.9.2

Умножим $4$ на $3$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

Этап 11

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Этап 11.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Этап 11.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Этап 11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Этап 11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Этап 11.5.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{3})$

Этап 11.6

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{3})$

Этап 11.7

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Этап 11.8

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 11.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 11.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Умножим $4$ на $2$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{3})$

Этап 11.10.2

Добавим $5 π$ и $8 π$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{3})$

Этап 11.11

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 11.12

Умножим $\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.12.1

Умножим $\frac{13 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 3})$

Этап 11.12.2

Умножим $4$ на $3$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

Этап 12

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Этап 12.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Этап 12.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Этап 12.5.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (2)}{3})$

Этап 12.6

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π}{3})$

Этап 12.7

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Этап 12.8

Объединим $4 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 12.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 12.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.10.1

Умножим $4$ на $4$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{5 π + 16 π}{4}}{3})$

Этап 12.10.2

Добавим $5 π$ и $16 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{21 π}{4}}{3})$

Этап 12.11

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{21 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 12.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.12.1

Вынесем множитель $3$ из $21 π$ .

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 12.12.2

Сократим общий множитель.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (7 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 12.12.3

Перепишем это выражение.

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$

Этап 13

Перечислим решения.

$k = 0 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{5 π}{12})$

$k = 1 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{13 π}{12})$

$k = 2 : 4^{\frac{1}{3}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{7 π}{4})$