Линейная алгебра Примеры

Trovare le radici Cube di un numero complesso -4-4i
-4-4i44i
Этап 1
Вычислим расстояние от (a,b)(a,b) до начала координат, используя формулу r=a2+b2r=a2+b2.
r=(-4)2+(-4)2r=(4)2+(4)2
Этап 2
Упростим (-4)2+(-4)2(4)2+(4)2.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Возведем -44 в степень 22.
r=16+(-4)2r=16+(4)2
Этап 2.2
Возведем -44 в степень 22.
r=16+16r=16+16
Этап 2.3
Добавим 1616 и 1616.
r=32r=32
Этап 2.4
Перепишем 3232 в виде 422422.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Вынесем множитель 1616 из 3232.
r=16(2)r=16(2)
Этап 2.4.2
Перепишем 1616 в виде 4242.
r=422r=422
r=422r=422
Этап 2.5
Вынесем члены из-под знака корня.
r=42r=42
r=42r=42
Этап 3
Вычислим угол приведения θ̂=arctan(|ba|)θˆ=arctan(ba).
θ̂=arctan(|-4-4|)θˆ=arctan(44)
Этап 4
Упростим arctan(|-4-4|)arctan(44).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Разделим -44 на -44.
θ̂=arctan(|1|)θˆ=arctan(|1|)
Этап 4.2
Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между 00 и 11 равно 11.
θ̂=arctan(1)θˆ=arctan(1)
Этап 4.3
Точное значение arctan(1)arctan(1): π4π4.
θ̂=π4θˆ=π4
θ̂=π4θˆ=π4
Этап 5
Точка находится в третьем квадранте, поскольку и xx, и yy принимают отрицательные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.
Квадрант 33
Этап 6
(a,b)(a,b) находится в третьем квадранте. θ=π+θ̂θ=π+θˆ
θ=π+π4θ=π+π4
Этап 7
Упростим θθ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Чтобы записать ππ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 4444.
π44+π4π44+π4
Этап 7.2
Объединим дроби.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Объединим ππ и 4444.
π44+π4π44+π4
Этап 7.2.2
Объединим числители над общим знаменателем.
π4+π4π4+π4
π4+π4π4+π4
Этап 7.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.3.1
Перенесем 44 влево от ππ.
4π+π44π+π4
Этап 7.3.2
Добавим 4π4π и ππ.
5π45π4
5π45π4
5π45π4
Этап 8
Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.
(a+bi)1n=r1ncis(θ+2πkn)(a+bi)1n=r1ncis(θ+2πkn), k=0,1,,n-1k=0,1,,n1
Этап 9
Подставим rr, nn и θθ в формулу.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Чтобы записать ππ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 4444.
(42)13cisπ44+π4+2πk3(42)13cisπ44+π4+2πk3
Этап 9.2
Объединим ππ и 4444.
(42)13cisπ44+π4+2πk3(42)13cisπ44+π4+2πk3
Этап 9.3
Объединим числители над общим знаменателем.
(42)13cisπ4+π4+2πk3(42)13cisπ4+π4+2πk3
Этап 9.4
Добавим π4π4 и ππ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.4.1
Изменим порядок ππ и 44.
(42)13cis4π+π4+2πk3(42)13cis4π+π4+2πk3
Этап 9.4.2
Добавим 4π4π и ππ.
(42)13cis5π4+2πk3(42)13cis5π4+2πk3
(42)13cis5π4+2πk3(42)13cis5π4+2πk3
Этап 9.5
Объединим (42)13(42)13 и 5π4+2πk35π4+2πk3.
cis(42)13(5π4+2πk)3cis(42)13(5π4+2πk)3
Этап 9.6
Объединим cc и (42)13(5π4+2πk)3(42)13(5π4+2πk)3.
isc((42)13(5π4+2πk))3isc((42)13(5π4+2πk))3
Этап 9.7
Объединим ii и c((42)13(5π4+2πk))3c((42)13(5π4+2πk))3.
si(c((42)13(5π4+2πk)))3si(c((42)13(5π4+2πk)))3
Этап 9.8
Объединим ss и i(c((42)13(5π4+2πk)))3i(c((42)13(5π4+2πk)))3.
s(i(c((42)13(5π4+2πk))))3s(i(c((42)13(5π4+2πk))))3
Этап 9.9
Избавимся от скобок.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.9.1
Избавимся от скобок.
s(i(c(42)13(5π4+2πk)))3s(i(c(42)13(5π4+2πk)))3
Этап 9.9.2
Избавимся от скобок.
s(i(c(42)13)(5π4+2πk))3s(i(c(42)13)(5π4+2πk))3
Этап 9.9.3
Избавимся от скобок.
s(ic(42)13(5π4+2πk))3s(ic(42)13(5π4+2πk))3
Этап 9.9.4
Избавимся от скобок.
s(ic(42)13)(5π4+2πk)3s(ic(42)13)(5π4+2πk)3
Этап 9.9.5
Избавимся от скобок.
s(ic)(42)13(5π4+2πk)3s(ic)(42)13(5π4+2πk)3
Этап 9.9.6
Избавимся от скобок.
sic(42)13(5π4+2πk)3
sic(42)13(5π4+2πk)3
sic(42)13(5π4+2πk)3
Этап 10
Подставим k=0 в формулу и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.1
Применим правило умножения к 42.
k=0:413213cis((π+π4)+2π(0)3)
Этап 10.2
Чтобы записать π в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 44.
k=0:413213cis(π44+π4+2π(0)3)
Этап 10.3
Объединим π и 44.
k=0:413213cis(π44+π4+2π(0)3)
Этап 10.4
Объединим числители над общим знаменателем.
k=0:413213cis(π4+π4+2π(0)3)
Этап 10.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.5.1
Перенесем 4 влево от π.
k=0:413213cis(4π+π4+2π(0)3)
Этап 10.5.2
Добавим 4π и π.
k=0:413213cis(5π4+2π(0)3)
k=0:413213cis(5π4+2π(0)3)
Этап 10.6
Умножим 2π(0).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.6.1
Умножим 0 на 2.
k=0:413213cis(5π4+0π3)
Этап 10.6.2
Умножим 0 на π.
k=0:413213cis(5π4+03)
k=0:413213cis(5π4+03)
Этап 10.7
Добавим 5π4 и 0.
k=0:413213cis(5π43)
Этап 10.8
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
k=0:413213cis(5π413)
Этап 10.9
Умножим 5π413.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 10.9.1
Умножим 5π4 на 13.
k=0:413213cis(5π43)
Этап 10.9.2
Умножим 4 на 3.
k=0:413213cis(5π12)
k=0:413213cis(5π12)
k=0:413213cis(5π12)
Этап 11
Подставим k=1 в формулу и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Применим правило умножения к 42.
k=1:413213cis((π+π4)+2π(1)3)
Этап 11.2
Чтобы записать π в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 44.
k=1:413213cis(π44+π4+2π(1)3)
Этап 11.3
Объединим π и 44.
k=1:413213cis(π44+π4+2π(1)3)
Этап 11.4
Объединим числители над общим знаменателем.
k=1:413213cis(π4+π4+2π(1)3)
Этап 11.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.5.1
Перенесем 4 влево от π.
k=1:413213cis(4π+π4+2π(1)3)
Этап 11.5.2
Добавим 4π и π.
k=1:413213cis(5π4+2π(1)3)
k=1:413213cis(5π4+2π(1)3)
Этап 11.6
Умножим 2 на 1.
k=1:413213cis(5π4+2π3)
Этап 11.7
Чтобы записать 2π в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 44.
k=1:413213cis(5π4+2π443)
Этап 11.8
Объединим 2π и 44.
k=1:413213cis(5π4+2π443)
Этап 11.9
Объединим числители над общим знаменателем.
k=1:413213cis(5π+2π443)
Этап 11.10
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.10.1
Умножим 4 на 2.
k=1:413213cis(5π+8π43)
Этап 11.10.2
Добавим 5π и 8π.
k=1:413213cis(13π43)
k=1:413213cis(13π43)
Этап 11.11
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
k=1:413213cis(13π413)
Этап 11.12
Умножим 13π413.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.12.1
Умножим 13π4 на 13.
k=1:413213cis(13π43)
Этап 11.12.2
Умножим 4 на 3.
k=1:413213cis(13π12)
k=1:413213cis(13π12)
k=1:413213cis(13π12)
Этап 12
Подставим k=2 в формулу и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Применим правило умножения к 42.
k=2:413213cis((π+π4)+2π(2)3)
Этап 12.2
Чтобы записать π в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 44.
k=2:413213cis(π44+π4+2π(2)3)
Этап 12.3
Объединим π и 44.
k=2:413213cis(π44+π4+2π(2)3)
Этап 12.4
Объединим числители над общим знаменателем.
k=2:413213cis(π4+π4+2π(2)3)
Этап 12.5
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.5.1
Перенесем 4 влево от π.
k=2:413213cis(4π+π4+2π(2)3)
Этап 12.5.2
Добавим 4π и π.
k=2:413213cis(5π4+2π(2)3)
k=2:413213cis(5π4+2π(2)3)
Этап 12.6
Умножим 2 на 2.
k=2:413213cis(5π4+4π3)
Этап 12.7
Чтобы записать 4π в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на 44.
k=2:413213cis(5π4+4π443)
Этап 12.8
Объединим 4π и 44.
k=2:413213cis(5π4+4π443)
Этап 12.9
Объединим числители над общим знаменателем.
k=2:413213cis(5π+4π443)
Этап 12.10
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.10.1
Умножим 4 на 4.
k=2:413213cis(5π+16π43)
Этап 12.10.2
Добавим 5π и 16π.
k=2:413213cis(21π43)
k=2:413213cis(21π43)
Этап 12.11
Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.
k=2:413213cis(21π413)
Этап 12.12
Сократим общий множитель 3.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.12.1
Вынесем множитель 3 из 21π.
k=2:413213cis(3(7π)413)
Этап 12.12.2
Сократим общий множитель.
k=2:413213cis(3(7π)413)
Этап 12.12.3
Перепишем это выражение.
k=2:413213cis(7π4)
k=2:413213cis(7π4)
k=2:413213cis(7π4)
Этап 13
Перечислим решения.
k=0:413213cis(5π12)
k=1:413213cis(13π12)
k=2:413213cis(7π4)
 [x2  12  π  xdx ]