Линейная алгебра Примеры

$5 + 2 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{5^{2} + 2^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{25 + 2^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{25 + 4}$

Этап 2.3

Добавим $25$ и $4$ .

$r = \sqrt{29}$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{5} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{2}{5} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

$\frac{2}{5}$ приблизительно равно $0.4$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$θ̂ = \arctan (\frac{2}{5})$

Этап 4.2

Найдем значение $\arctan (\frac{2}{5})$ .

$θ̂ = 0.38050637$

Этап 5

Точка расположена в первом квадранте, поскольку и $x$ , и $y$ принимают положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $1$

Этап 6

$(a, b)$ находится в первом квадранте. $θ = θ̂$

$θ = 0.38050637$

Этап 7

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 8

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим ${(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{(0.38050637) + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$

Этап 8.2

Объединим $c$ и $\frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$

Этап 8.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$

Этап 8.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)))}{2}$

Этап 8.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Этап 8.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Этап 8.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Этап 8.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Этап 8.5.8

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Этап 9

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (0)}{2})$

Этап 9.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0 π}{2})$

Этап 9.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0}{2})$

Этап 9.3

Добавим $0.38050637$ и $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637}{2})$

Этап 9.4

Разделим $0.38050637$ на $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 0.19025318$

Этап 9.5

Умножим ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ на $0.19025318$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

Этап 10

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (1)}{2})$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 2 π}{2})$

Этап 10.3

Добавим $0.38050637$ и $2 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{6.66369168}{2})$

Этап 10.4

Разделим $6.66369168$ на $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 3.33184584$

Этап 10.5

Умножим ${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ на $3.33184584$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$

Этап 11

Перечислим решения.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$