Линейная алгебра Примеры

5 + 2 i

$5 + 2 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от

(a, b)

$(a, b)$ до начала координат, используя формулу

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}

$r = \sqrt{5^{2} + 2^{2}}$

Этап 2

Упростим

\sqrt{5^{2} + 2^{2}}

$\sqrt{5^{2} + 2^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем

5

$5$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{25 + 2^{2}}

$r = \sqrt{25 + 2^{2}}$

Этап 2.2

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{25 + 4}

$r = \sqrt{25 + 4}$

Этап 2.3

Добавим

25

$25$ и

4

$4$ .

r = \sqrt{29}

$r = \sqrt{29}$

r = \sqrt{29}

$r = \sqrt{29}$

Этап 3

Вычислим угол приведения

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{2}{5} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{2}{5} |)$

Этап 4

Упростим

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{2}{5} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{2}{5} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

\frac{2}{5}

$\frac{2}{5}$ приблизительно равно

0.4

$0.4$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

θˆ = arctan (\frac{2}{5})

$θ̂ = \arctan (\frac{2}{5})$

Этап 4.2

Найдем значение

arctan (\frac{2}{5})

$\arctan (\frac{2}{5})$ .

θˆ = 0.38050637

$θ̂ = 0.38050637$

θˆ = 0.38050637

$θ̂ = 0.38050637$

Этап 5

Точка расположена в первом квадранте, поскольку и

x

$x$ , и

y

$y$ принимают положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант

1

$1$

Этап 6

(a, b)

$(a, b)$ находится в первом квадранте.

θ = θˆ

$θ = θ̂$

θ = 0.38050637

$θ = 0.38050637$

Этап 7

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 8

Подставим

r

$r$ ,

n

$n$ и

θ

$θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим

{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}}

${(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}}$ и

\frac{(0.38050637) + 2 π k}{2}

$\frac{(0.38050637) + 2 π k}{2}$ .

c i s \frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}

$c i s \frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$

Этап 8.2

Объединим

$c$ и

$\frac{{(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$

Этап 8.3

Объединим

$i$ и

$\frac{c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$

Этап 8.4

Объединим

$s$ и

$\frac{i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{29})}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} ((0.38050637) + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))))}{2}$

Этап 8.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)))}{2}$

Этап 8.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Этап 8.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k))}{2}$

Этап 8.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}}) (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Этап 8.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Этап 8.5.8

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} (0.38050637 + 2 π k)}{2}$

Этап 9

Подставим

$k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (0)}{2})$

Этап 9.2

Умножим

$2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим

$0$ на

$2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0 π}{2})$

Этап 9.2.2

Умножим

$0$ на

$π$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 0}{2})$

Этап 9.3

Добавим

$0.38050637$ и

$0$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637}{2})$

Этап 9.4

Разделим

$0.38050637$ на

$2$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 0.19025318$

Этап 9.5

Умножим

${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ на

$0.19025318$ .

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

Этап 10

Подставим

$k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(0.38050637) + 2 π (1)}{2})$

Этап 10.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{0.38050637 + 2 π}{2})$

Этап 10.3

Добавим

$0.38050637$ и

$2 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{6.66369168}{2})$

Этап 10.4

Разделим

$6.66369168$ на

$2$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 3.33184584$

Этап 10.5

Умножим

${\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s$ на

$3.33184584$ .

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$

Этап 11

Перечислим решения.

$k = 0 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (0.19025318)$

$k = 1 : {\sqrt{29}}^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (3.33184584)$