Линейная алгебра Примеры

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Применим правило умножения к $3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Этап 2.2.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Этап 2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $9$ на $3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Этап 2.3.2

Добавим $9$ и $27$ .

$r = \sqrt{36}$

Этап 2.3.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

Этап 2.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 6$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $3$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Этап 4.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Этап 4.3

$- \sqrt{3}$ приблизительно равно $- 1.7320508$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак $- \sqrt{3}$ и вычтем абсолютное значение.

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 4.4

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Этап 5

Точка находится во втором квадранте, поскольку $x$ принимает отрицательные значения, а $y$ — положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $2$

Этап 6

$(a, b)$ находится во втором квадранте. $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Этап 7

Упростим $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 7.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 8

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 9

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Этап 9.2

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Этап 9.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Изменим порядок $π$ и $3$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Этап 9.4.2

Вычтем $π$ из $3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Этап 9.5

Объединим ${(6)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Этап 9.6

Объединим $c$ и $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Этап 9.7

Объединим $i$ и $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Этап 9.8

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Этап 9.9

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Этап 9.9.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Этап 9.9.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Этап 9.9.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Этап 9.9.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Этап 9.9.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Этап 9.9.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Этап 10

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.3

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.6

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Этап 10.6.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Этап 10.7

Добавим $\frac{2 π}{3}$ и $0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Этап 10.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 10.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 10.9.2

Сократим общий множитель.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 10.9.3

Перепишем это выражение.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Этап 11

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.3

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.5.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.6

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Этап 11.7

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Этап 11.8

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Этап 11.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Этап 11.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.10.1

Умножим $3$ на $2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Этап 11.10.2

Добавим $2 π$ и $6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Этап 11.11

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 11.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.12.1

Вынесем множитель $2$ из $8 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 11.12.2

Сократим общий множитель.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 11.12.3

Перепишем это выражение.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$