Линейная алгебра Примеры

x + y + z + t = 4

$x + y + z + t = 4$ ,

2 x - y - z - t = - 1

$2 x - y - z - t = - 1$ ,

$x + y - 2 z = 0$ ,

$3 x + 3 t = 6$

Этап 1

Найдем

$A X = B$ из системы уравнений.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Этап 2

Найдем матрицу, обратную к матрице коэффициентов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$4$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Этап 2.1.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 2.1.1.3

Минор для

$a_{41}$ — это определитель с удаленными строкой

$4$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.4

Умножим элемент

$a_{41}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.5

Минор для

$a_{42}$ — это определитель с удаленными строкой

$4$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.6

Умножим элемент

$a_{42}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.7

Минор для

$a_{43}$ — это определитель с удаленными строкой

$4$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.8

Умножим элемент

$a_{43}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.1.9

Минор для

$a_{44}$ — это определитель с удаленными строкой

$4$ и столбцом

$4$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.10

Умножим элемент

$a_{44}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.1.11

Сложим члены.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.3

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ .

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.1.4.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 2.1.4.1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.4.1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.4.1.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.4.1.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.4.1.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.4.1.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Этап 2.1.4.1.9

Сложим члены.

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 2$ .

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.2.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.2.2.2

Добавим

$2$ и

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.3.2.1.1

Умножим

$2$ на

$- 2$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.3.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.3.2.2

Добавим

$- 4$ и

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.4.2.1.1

Умножим

$2$ на

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.4.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.4.2.2

Добавим

$2$ и

$1$ .

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.5.1.1

Умножим

$3$ на

$1$ .

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.5.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 3$ .

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.5.1.3

Умножим

$3$ на

$1$ .

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.5.2

Добавим

$3$ и

$3$ .

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.4.5.3

Добавим

$6$ и

$3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

Этап 2.1.5

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в столбце

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 2.1.5.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 2.1.5.1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.5.1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.5.1.5

Минор для

$a_{21}$ — это определитель с удаленными строкой

$2$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.5.1.6

Умножим элемент

$a_{21}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Этап 2.1.5.1.7

Минор для

$a_{31}$ — это определитель с удаленными строкой

$3$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.1.5.1.8

Умножим элемент

$a_{31}$ на его алгебраическое дополнение.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Этап 2.1.5.1.9

Сложим члены.

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.2

Умножим

$0$ на

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.2.1.1

Умножим

$- 1$ на

$- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.3.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.3.2.2

Добавим

$2$ и

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.4.2.1.1

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.4.2.1.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.4.2.2

Вычтем

$1$ из

$- 2$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.5.1.1

Умножим

$3$ на

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.5.1.2

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.5.2

Вычтем

$3$ из

$3$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

Этап 2.1.5.5.3

Добавим

$0$ и

$0$ .

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Этап 2.1.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Умножим

$- 3$ на

$9$ .

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

Этап 2.1.6.1.2

Умножим

$3$ на

$0$ .

$- 27 + 0 + 0 + 0$

Этап 2.1.6.2

Добавим

$- 27$ и

$0$ .

$- 27 + 0 + 0$

Этап 2.1.6.3

Добавим

$- 27$ и

$0$ .

$- 27 + 0$

Этап 2.1.6.4

Добавим

$- 27$ и

$0$ .

$- 27$

Этап 2.2

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 2.3

Создадим матрицу

$4 \times 8$ , левая половина которой равна исходной матрице, а правая половина — ее единичной матрице.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Выполним операцию над строками

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$2, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.1.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 1$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 1$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.4.2.2

Упростим

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.3

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим каждый элемент

$R_{2}$ на

$\frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в

$2, 2$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.3.2

Упростим

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.4

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.4.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.5

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Выполним операцию над строками

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$4, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 2.4.5.2

Упростим

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

Этап 2.4.6

Умножим каждый элемент

$R_{4}$ на

$- \frac{1}{9}$ , чтобы сделать значение в

$4, 4$ равным

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Умножим каждый элемент

$R_{4}$ на

$- \frac{1}{9}$ , чтобы сделать значение в

$4, 4$ равным

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

Этап 2.4.6.2

Упростим

$R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.7

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 4$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Выполним операцию над строками

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ , чтобы сделать элемент в

$3, 4$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.7.2

Упростим

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.8

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 4$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 4$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.8.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.9

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.9.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 3$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.9.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.10

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.10.1

Выполним операцию над строками

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в

$1, 2$ равным

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.4.10.2

Упростим

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2.5

Правая половина матрицы, приведенной к стандартной форме, является обратной матрицей.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 3

Умножим слева обе части матричного уравнения на обратную матрицу.

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Этап 4

Любая матрица, умноженная на свою обратную, всегда равна

$1$ .

$A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

Этап 5

Умножим

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна

$4 \times 4$ , а вторая —

$4 \times 1$ .

Этап 5.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

Этап 5.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 6

Упростим левую и правую части.

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Этап 7

Найдем решение.

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$