Линейная алгебра Примеры

$8 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{{(8 \cos (\frac{π}{2}))}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$r = \sqrt{{(8 \cdot 0)}^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Этап 2.2

Умножим $8$ на $0$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Этап 2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)}^{2}}$

Этап 2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$r = \sqrt{0 + {(1 \cdot 8)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $8$ на $1$ .

$r = \sqrt{0 + 8^{2}}$

Этап 2.6

Возведем $8$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Этап 2.7

Добавим $0$ и $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Этап 2.8

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

Этап 2.9

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 8$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (\frac{π}{2}) \cdot 8}{8 \cos (\frac{π}{2})} |)$

Этап 4

Уравнение содержит дробь, знаменатель которой может обращаться в ноль.

Неопределенные

Этап 5

Найдем квадрант.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$(8 \cdot 0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Этап 5.2

Умножим $8$ на $0$ .

$(0, \sin (\frac{π}{2}) \cdot 8)$

Этап 5.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$(0, 1 \cdot 8)$

Этап 5.4

Умножим $8$ на $1$ .

$(0, 8)$

Этап 5.5

Поскольку ордината положительна, а абсцисса равна $0$ , эта точка расположена на оси Y между первым и четвертым квадрантами. Квадранты маркируются против часовой стрелки, начиная с правого верхнего.

Между квадрантами $1$ и $2$

Этап 6

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 7

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим ${(8)}^{\frac{1}{4}}$ и $\frac{θ + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.2

Объединим $c$ и $\frac{{(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Этап 7.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Этап 7.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Этап 7.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Этап 7.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 8

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{4})$

Этап 8.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0 π}{4})$

Этап 8.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

Этап 9

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{4})$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

Этап 10

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 2 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{4})$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

Этап 11

Подставим $k = 3$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 3 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (3)}{4})$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $2$ .

$k = 3 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

$k = 1 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

$k = 2 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

$k = 3 : 8^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$