Линейная алгебра Примеры

$9 x_{2} - 7 x_{3} = 2$ $- x_{3} = - 2$ $- 3 x_{1} + 6 x_{2} + 8 x_{3} = 1$

Этап 1

Запишем систему в виде матрицы.

$[\begin{array}{c} 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ - 3 & 6 & 8 & 1 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим $R_{3}$ на $R_{1}$ , чтобы поместить ненулевой элемент в $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & 8 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Этап 2.2

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $- \frac{1}{3}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 8 & - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \end{array}]$

Этап 2.3

Заменим $R_{3}$ на $R_{2}$ , чтобы поместить ненулевой элемент в $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 9 & - 7 & 2 \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 2.4

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{9}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{9}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{- 7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Этап 2.5

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $- 1$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $- 1$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ - 0 & - 0 & - - 1 & - - 2 \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{7}{9} & \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.6

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{7}{9} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 + \frac{7}{9} \cdot 0 & 1 + \frac{7}{9} \cdot 0 & - \frac{7}{9} + \frac{7}{9} \cdot 1 & \frac{2}{9} + \frac{7}{9} \cdot 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & - \frac{8}{3} & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.7

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + \frac{8}{3} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - 2 + \frac{8}{3} \cdot 0 & - \frac{8}{3} + \frac{8}{3} \cdot 1 & - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} \cdot 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.7.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.8

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 5 + 2 (\frac{16}{9}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 2.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{77}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{16}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x_{1} = \frac{77}{9}$

$x_{2} = \frac{16}{9}$

$x_{3} = 2$

Этап 4

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(\frac{77}{9}, \frac{16}{9}, 2)$