Линейная алгебра Примеры

$- 4 - 4 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + 16}$

Этап 2.3

Добавим $16$ и $16$ .

$r = \sqrt{32}$

Этап 2.4

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$r = \sqrt{16 (2)}$

Этап 2.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = 4 \sqrt{2}$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $- 4$ на $- 4$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Этап 4.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Этап 4.3

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Этап 5

Точка находится в третьем квадранте, поскольку и $x$ , и $y$ принимают отрицательные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $3$

Этап 6

$(a, b)$ находится в третьем квадранте. $θ = π + θ̂$

$θ = π + \frac{π}{4}$

Этап 7

Упростим $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Этап 8

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 9

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{2}$

Этап 9.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{2}$

Этап 9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{2}$

Этап 9.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{2}$

Этап 9.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{2}$

Этап 9.5

Объединим ${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Этап 9.6

Объединим $c$ и $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Этап 9.7

Объединим $i$ и $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Этап 9.8

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{2}$

Этап 9.9

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{2}$

Этап 9.9.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Этап 9.9.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{2}$

Этап 9.9.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Этап 9.9.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Этап 9.9.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{2}$

Этап 10

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$k = 0 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.4.2

Перепишем это выражение.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.5

Найдем экспоненту.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.6

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.7

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.9.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.9.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.10

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.10.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{2})$

Этап 10.10.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{2})$

Этап 10.11

Добавим $\frac{5 π}{4}$ и $0$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

Этап 10.12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 10.13

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.13.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 2})$

Этап 10.13.2

Умножим $4$ на $2$ .

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{8})$

Этап 11

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$k = 1 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сократим общий множитель.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.4.2

Перепишем это выражение.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.5

Найдем экспоненту.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.6

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.7

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.9.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.9.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.10

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{2})$

Этап 11.11

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{2})$

Этап 11.12

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Этап 11.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{2})$

Этап 11.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.14.1

Умножим $4$ на $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{2})$

Этап 11.14.2

Добавим $5 π$ и $8 π$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{2})$

Этап 11.15

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 11.16

Умножим $\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.16.1

Умножим $\frac{13 π}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 2})$

Этап 11.16.2

Умножим $4$ на $2$ .

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{8})$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{5 π}{8})$

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{13 π}{8})$