Линейная алгебра Примеры

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1

Перенесем все переменные в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1.2

Перенесем $- 2 z$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $x$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1.4

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Этап 1.4.2

Добавим $z$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Этап 1.5

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Этап 2

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Этап 3

Найдем определитель матрицы коэффициентов $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ в виде определителя.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов $0$ . Если элементов $0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке $1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 3.2.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией $-$ на схеме знаков.

Этап 3.2.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.2.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.2.9

Сложим члены.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $- (- 4 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.5

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 3.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Этап 3.5.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Этап 3.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Умножим $2$ на $- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Этап 3.6.1.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Этап 3.6.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Этап 3.6.2

Вычтем $9$ из $- 14$ .

$- 23 - 2$

Этап 3.6.3

Вычтем $2$ из $- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Этап 4

Так как определитель не равен $0$ , эту систему можно решить с помощью метода Крамера.

Этап 5

Найдем значение $x$ методом Крамера, согласно которому $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим столбец $1$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам $x$ системы на $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.2.1.2

Этап 5.2.1.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.1.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.1.9

Сложим члены.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 4 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Этап 5.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Умножим $5$ на $- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Этап 5.2.4.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Этап 5.2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим $- 20$ и $3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Этап 5.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Умножим $4$ на $- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Этап 5.2.5.1.3

Умножим $- 17$ на $1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $3$ из $- 28$ .

$- 31 - 17$

Этап 5.2.5.3

Вычтем $17$ из $- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Этап 5.3

Используем формулу для решения относительно $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 5.4

Подставим в формуле $- 25$ вместо $D$ и $- 48$ вместо $D_{x}$ .

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{48}{25}$

Этап 6

Найдем значение $y$ методом Крамера, согласно которому $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим столбец $2$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам $y$ системы на $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 6.2.1.2

Этап 6.2.1.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.1.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.1.9

Сложим члены.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 3 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Этап 6.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Этап 6.2.4.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Этап 6.2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Этап 6.2.4.2.2

Добавим $- 3$ и $10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Этап 6.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Этап 6.2.5.1.3

Умножим $7$ на $1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Этап 6.2.5.2

Добавим $- 2$ и $12$ .

$10 + 7$

Этап 6.2.5.3

Добавим $10$ и $7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Этап 6.3

Используем формулу для решения относительно $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 6.4

Подставим в формуле $- 25$ вместо $D$ и $17$ вместо $D_{y}$ .

$y = \frac{17}{- 25}$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{17}{25}$

Этап 7

Найдем значение $z$ методом Крамера, согласно которому $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим столбец $3$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам $z$ системы на $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 7.2.1.2

Этап 7.2.1.3

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.4

Умножим элемент $a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.5

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.6

Умножим элемент $a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.7

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.1.8

Умножим элемент $a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.1.9

Сложим члены.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2.1.2

Умножим $- (- 4 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2.2

Добавим $- 3$ и $20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2.2

Добавим $- 3$ и $10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.4

Найдем значение $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 7.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 7.2.4.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Этап 7.2.4.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Этап 7.2.4.2.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Этап 7.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Умножим $2$ на $17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Этап 7.2.5.1.2

Умножим $3$ на $7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Этап 7.2.5.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Этап 7.2.5.2

Добавим $34$ и $21$ .

$55 - 8$

Этап 7.2.5.3

Вычтем $8$ из $55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Этап 7.3

Используем формулу для решения относительно $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Этап 7.4

Подставим в формуле $- 25$ вместо $D$ и $47$ вместо $D_{z}$ .

$z = \frac{47}{- 25}$

Этап 7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{47}{25}$

Этап 8

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$