Линейная алгебра Примеры

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x - 5 = 0$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1

Перенесем все переменные в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим

$5$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1.2

Перенесем

$- 2 z$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1.3

Изменим порядок

$y$ и

$x$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Этап 1.4

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем

$4 y$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Этап 1.4.2

Добавим

$z$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Этап 1.5

Вычтем

$3$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Этап 2

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Этап 3

Найдем определитель матрицы коэффициентов

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ в виде определителя.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 3.2.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 3.2.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.2.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.2.9

Сложим члены.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.3.2.2

Вычтем

$8$ из

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.4.2.2

Вычтем

$4$ из

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 3.5

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 3.5.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 3.5.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Этап 3.5.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Этап 3.5.2.2

Добавим

$- 4$ и

$2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Этап 3.6

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Умножим

$2$ на

$- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Этап 3.6.1.2

Умножим

$3$ на

$- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Этап 3.6.1.3

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Этап 3.6.2

Вычтем

$9$ из

$- 14$ .

$- 23 - 2$

Этап 3.6.3

Вычтем

$2$ из

$- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Этап 4

Так как определитель не равен

$0$ , эту систему можно решить с помощью метода Крамера.

Этап 5

Найдем значение

$x$ методом Крамера, согласно которому

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим столбец

$1$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам

$x$ системы на

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 5.2.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 5.2.1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2.1.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.1.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.1.9

Сложим члены.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.1.2

Умножим

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.2.2.2

Вычтем

$8$ из

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.1

Умножим

$5$ на

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.1.2

Умножим

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1.2.1

Умножим

$- 3$ на

$- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.3.2.2

Вычтем

$6$ из

$5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Этап 5.2.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Этап 5.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.1

Умножим

$5$ на

$- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Этап 5.2.4.2.1.2

Умножим

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1.2.1

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Этап 5.2.4.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Этап 5.2.4.2.2

Добавим

$- 20$ и

$3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Этап 5.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Умножим

$4$ на

$- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Этап 5.2.5.1.3

Умножим

$- 17$ на

$1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Этап 5.2.5.2

Вычтем

$3$ из

$- 28$ .

$- 31 - 17$

Этап 5.2.5.3

Вычтем

$17$ из

$- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Этап 5.3

Используем формулу для решения относительно

$x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 5.4

Подставим в формуле

$- 25$ вместо

$D$ и

$- 48$ вместо

$D_{x}$ .

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{48}{25}$

Этап 6

Найдем значение

$y$ методом Крамера, согласно которому

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим столбец

$2$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам

$y$ системы на

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 6.2.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 6.2.1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 6.2.1.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.1.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.1.9

Сложим члены.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Умножим

$5$ на

$1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2

Умножим

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

Умножим

$- 3$ на

$- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.2.2.2

Вычтем

$6$ из

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.1

Умножим

$1$ на

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.3.2.2

Вычтем

$4$ из

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 6.2.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Этап 6.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Этап 6.2.4.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Этап 6.2.4.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Этап 6.2.4.2.2

Добавим

$- 3$ и

$10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Этап 6.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим

$- 4$ на

$- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Этап 6.2.5.1.3

Умножим

$7$ на

$1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Этап 6.2.5.2

Добавим

$- 2$ и

$12$ .

$10 + 7$

Этап 6.2.5.3

Добавим

$10$ и

$7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Этап 6.3

Используем формулу для решения относительно

$y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 6.4

Подставим в формуле

$- 25$ вместо

$D$ и

$17$ вместо

$D_{y}$ .

$y = \frac{17}{- 25}$

Этап 6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{17}{25}$

Этап 7

Найдем значение

$z$ методом Крамера, согласно которому

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим столбец

$3$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам

$z$ системы на

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем строку или столбец с наибольшим количеством элементов

$0$ . Если элементов

$0$ нет, выберем любую строку или столбец. Умножим каждый элемент в строке

$1$ на его алгебраическое дополнение и сложим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Этап 7.2.1.2

Алгебраическое дополнение — это минор с измененным знаком, если индексы совпадают с позицией

$-$ на схеме знаков.

Этап 7.2.1.3

Минор для

$a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$1$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.4

Умножим элемент

$a_{11}$ на его алгебраическое дополнение.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.5

Минор для

$a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$2$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.6

Умножим элемент

$a_{12}$ на его алгебраическое дополнение.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Этап 7.2.1.7

Минор для

$a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой

$1$ и столбцом

$3$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.1.8

Умножим элемент

$a_{13}$ на его алгебраическое дополнение.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.1.9

Сложим члены.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2.1.2

Умножим

$- (- 4 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.2.2.2

Добавим

$- 3$ и

$20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.1

Умножим

$- 3$ на

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.3.2.2

Добавим

$- 3$ и

$10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Этап 7.2.4

Найдем значение

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Определитель матрицы

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 7.2.4.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Этап 7.2.4.2.1.2

Умножим

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.2.1

Умножим

$- 2$ на

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Этап 7.2.4.2.1.2.2

Умножим

$- 1$ на

$- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Этап 7.2.4.2.2

Добавим

$- 4$ и

$2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Этап 7.2.5

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Умножим

$2$ на

$17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Этап 7.2.5.1.2

Умножим

$3$ на

$7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Этап 7.2.5.1.3

Умножим

$4$ на

$- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Этап 7.2.5.2

Добавим

$34$ и

$21$ .

$55 - 8$

Этап 7.2.5.3

Вычтем

$8$ из

$55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Этап 7.3

Используем формулу для решения относительно

$z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Этап 7.4

Подставим в формуле

$- 25$ вместо

$D$ и

$47$ вместо

$D_{z}$ .

$z = \frac{47}{- 25}$

Этап 7.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$z = - \frac{47}{25}$

Этап 8

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$