Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ - 1 \\ 5 \\ 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ - 3 \\ 6 \\ 1 \end{array}]$

Этап 1

Чтобы определить, являются ли столбцы в матрице линейно зависимыми, определим, имеет ли уравнение $A x = 0$ любые нетривиальные решения.

Этап 2

Запишем в виде расширенной матрицы для $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим каждый элемент $R_{1}$ на $\frac{1}{2}$ , чтобы сделать значение в $1, 1$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.1.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + \frac{1}{2} & 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.2.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 & - 1 & - 3 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & - 1 - 4 (\frac{1}{2}) & - 3 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.3.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.4

Выполним операцию над строками $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $4, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Выполним операцию над строками $R_{4} = R_{4} - R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $4, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 1 - 1 & 5 - \frac{1}{2} & 6 - 1 & 0 - 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.4.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.5

Выполним операцию над строками $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $5, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Выполним операцию над строками $R_{5} = R_{5} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $5, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 2 - 2 (\frac{1}{2}) & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.5.2

Упростим $R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{5}{2} & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.6

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{2}{5}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{2}{5}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ \frac{2}{5} \cdot 0 & \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2} & \frac{2}{5} \cdot 2 & \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & - 3 & - 7 & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.7

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 7 + 3 (\frac{4}{5}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.7.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & \frac{9}{2} & 5 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.8

Выполним операцию над строками $R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $4, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Выполним операцию над строками $R_{4} = R_{4} - \frac{9}{2} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $4, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 & \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cdot 1 & 5 - \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} & 0 - \frac{9}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.8.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Этап 3.9

Выполним операцию над строками $R_{5} = R_{5} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $5, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Выполним операцию над строками $R_{5} = R_{5} - R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $5, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 1 - \frac{4}{5} & 0 - 0 \end{array}]$

Этап 3.9.2

Упростим $R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.10

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $- \frac{5}{23}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $- \frac{5}{23}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} \cdot 0 & - \frac{5}{23} (- \frac{23}{5}) & - \frac{5}{23} \cdot 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.10.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{7}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.11

Выполним операцию над строками $R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $4, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Выполним операцию над строками $R_{4} = R_{4} - \frac{7}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $4, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 & \frac{7}{5} - \frac{7}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{7}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.11.2

Упростим $R_{4}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{9}{5} & 0 \end{array}]$

Этап 3.12

Выполним операцию над строками $R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $5, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Выполним операцию над строками $R_{5} = R_{5} + \frac{9}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $5, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 & - \frac{9}{5} + \frac{9}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{9}{5} \cdot 0 \end{array}]$

Этап 3.12.2

Упростим $R_{5}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.13

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - \frac{4}{5} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 & 1 - \frac{4}{5} \cdot 0 & \frac{4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{4}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.13.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.14

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & \frac{1}{2} - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.14.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.15

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{2} R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 & 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 3.15.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Этап 4

Удалим строки, состоящие исключительно из нулей.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Этап 5

Запишем матрицу в виде системы линейных уравнений.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Этап 6

Поскольку единственное решение для $A x = 0$ является тривиальным, векторы линейно независимы.

Линейно независимые