Линейная алгебра Примеры

3 (cos (π) + i sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Этап 1

Вычислим расстояние от

(a, b)

$(a, b)$ до начала координат, используя формулу

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2

Упростим

\sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

r = \sqrt{{(3 (- cos (0)))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Точное значение

cos (0)

$\cos (0)$ :

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Умножим

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим

- 1

$- 1$ на

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим

3

$3$ на

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем

- 3

$- 3$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

r = \sqrt{9 + {(sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Точное значение

sin (0)

$\sin (0)$ :

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим

0

$0$ на

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Этап 2.8

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Этап 2.9

Добавим

9

$9$ и

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Этап 2.10

Перепишем

9

$9$ в виде

3^{2}

$3^{2}$ .

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Этап 3

Вычислим угол приведения

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Этап 4

Упростим

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Этап 4.1.2

Перепишем это выражение.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Этап 4.2.2

Точное значение

$\sin (0)$ :

$0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Этап 4.3.2

Точное значение

$\cos (0)$ :

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Этап 4.3.3

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем знак минуса из знаменателя

$\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Этап 4.4.2

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Этап 4.5

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$0$ равно

$0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

Этап 4.6

Точное значение

$\arctan (0)$ :

$0$ .

$θ̂ = 0$

Этап 5

Найдем квадрант.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.2

Точное значение

$\cos (0)$ :

$1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.3

Умножим

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.3.2

Умножим

$3$ на

$- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Этап 5.5

Точное значение

$\sin (0)$ :

$0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Этап 5.6

Умножим

$0$ на

$3$ .

$(- 3, 0)$

Этап 5.7

Поскольку абсцисса отрицательна, а ордината равна

$0$ , эта точка расположена на оси X между вторым и третьим квадрантами. Квадранты маркируются против часовой стрелки, начиная с правого верхнего.

Между квадрантами

$2$ и

$3$

Между квадрантами

$2$ и

$3$

Этап 6

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 7

Подставим

$r$ ,

$n$ и

$θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим

${(3)}^{\frac{1}{4}}$ и

$\frac{θ + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.2

Объединим

$c$ и

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.3

Объединим

$i$ и

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Этап 7.4

Объединим

$s$ и

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Этап 7.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Этап 7.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Этап 7.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 8

Подставим

$k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{4})$

Этап 8.2

Умножим

$2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим

$0$ на

$2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0 π}{4})$

Этап 8.2.2

Умножим

$0$ на

$π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

Этап 9

Подставим

$k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{4})$

Этап 9.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

Этап 10

Подставим

$k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{4})$

Этап 10.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

Этап 11

Подставим

$k = 3$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (3)}{4})$

Этап 11.2

Умножим

$3$ на

$2$ .

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$