Линейная алгебра Примеры

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $0$ на $3$ .

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Этап 2.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$r = \sqrt{9 + 0}$

Этап 2.9

Добавим $9$ и $0$ .

$r = \sqrt{9}$

Этап 2.10

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 3$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Этап 4.1.2

Перепишем это выражение.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Этап 4.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Этап 4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Этап 4.3.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Этап 4.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Этап 4.4.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Этап 4.5

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

Этап 4.6

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$θ̂ = 0$

Этап 5

Найдем квадрант.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.3

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Этап 5.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Этап 5.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Этап 5.6

Умножим $0$ на $3$ .

$(- 3, 0)$

Этап 5.7

Поскольку абсцисса отрицательна, а ордината равна $0$ , эта точка расположена на оси X между вторым и третьим квадрантами. Квадранты маркируются против часовой стрелки, начиная с правого верхнего.

Между квадрантами $2$ и $3$

Этап 6

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 7

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим ${(3)}^{\frac{1}{4}}$ и $\frac{θ + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.2

Объединим $c$ и $\frac{{(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Этап 7.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Этап 7.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))))}{4}$

Этап 7.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)))}{4}$

Этап 7.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k))}{4}$

Этап 7.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{4}}) (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 7.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{4}} (θ + 2 π k)}{4}$

Этап 8

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{4})$

Этап 8.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0 π}{4})$

Этап 8.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

Этап 9

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{4})$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

Этап 10

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{4})$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

Этап 11

Подставим $k = 3$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π (3)}{4})$

Этап 11.2

Умножим $3$ на $2$ .

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 0}{4})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 2 π}{4})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 4 π}{4})$

$k = 3 : 3^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{θ + 6 π}{4})$